Лабораторная работа 3 исследование функций распределения и плотностей вероятности значений случайных сигналов

1. Цель работы

Исследование одномерных функций распределения вероятностей и плотностей вероятностей значений случайных сигналов.

2. Основные теоретические положения

Случайные сигналы могут быть стационарными и нестационарными.

Для стационарного сигнала усредненные характеристики не зависят от выбора начального отсчета времени. В данной работе рассматриваются стационарные сигналы.

Основной характеристикой случайных сигналов являются функции распределения вероятностей их значений. По функциям распределения могут быть определены все другие характеристики сигнала, в том числе его среднее значение, дисперсия, корреляционная функция, вероятность попадания в заданный интервал значений.

Одномерная функция распределения вероятностей F(U) случайного сигнала x(t) есть вероятность того, что значение сигнала не превысит уровень U:

F(U) = P(x £ U).

Основные свойства функции F(U):

1. 0 £ F(U) £ 1, причем F(–¥) = 0, F(¥) = 1;

_2. при , т. е. F(U) — неубывающая функция;

_3.  — вероятность попадания случайного сигнала x(t) в полузакрытый интервал .

Для функции распределения F(U), имеющей производную, вводят понятие плотности вероятностей:

. (3.1)

Основные свойства функции p(U).

4. Размерность p(U) равна обратной величине размерности случайного сигнала ;

5. p(U) ³ 0;

6. Функция распределения определяется выражением

; (3.2)

7. Вероятность попадания случайной величины в интервал равна .

Для исследуемых в работе сигналов предполагается выполнение условия эргодичности. Из него следует, что средние параметры случайного процесса, определенные по множеству реализаций, с единичной вероятностью равны средним параметрам, определенным по одной реализации.

Для таких сигналов одномерная функция распределения F(U) равна отношению времени, в течение которого значения сигналов не превышают заданный уровень U ко всему времени T измерения сигнала (3.2) (рис. 3.1, а):

.

Указанное свойство используется в измерительном приборе для измерения функции распределения. Структурная схема измерителя приведена на рис. 3.1, в. Опорное напряжение U и случайный сигнал x(t) подаются на два входа компаратора (сравнивающего устройства). Если x(t) > U, напряжение на выходе компаратора равно нулю, а при x(t) £ U оно равно (рис. 3.1, б).

Выход компаратора соединен с интегратором, выполненным в виде RC‑цепи. При Df RC >> 1, где Df — ширина спектра случайного сигнала, напряжение на выходе компаратора равно .

Рис. 3.1

Напряжение с выхода интегратора подается на вход «Y» осциллографа, а опорное напряжение на вход «Х». При медленном изменении опорного напряжения U на экране осциллографа появляется изображение F(U) — функции распределения вероятностей значений исследуемого случайного сигнала x(t).

Метод измерения плотности вероятности основан на формуле численного дифференцирования функции (3.1):

для малых DU.

Если DU мало и постоянно, то p(U) пропорционально разности F(U + DU) – F(U), т. е. разности напряжений на выходах двух измерителей функции распределения сигналов x(t) при опорных напряжениях U + DU и U соответственно на первом и втором измерителях (рис. 3.2).

Рис. 3.2

В работе исследуются функции распределения и плотности вероятности для следующих случайных сигналов.

Треугольный сигнал со случайной начальной фазой (рис. 3.3, а). Он имеет равномерное распределение вероятностей значений напряжения (рис. 3.3, б, в), описываемое следующими выражениями:

(3.3)

Рис. 3.3

Шум усилителя. Он имеет гауссовскую функцию распределения (рис. 3.4, а, б). Для него

, (3.4)

где  — дисперсия,  — среднее значение напряжения,  — интеграл ошибок, значения которого табулированы.

Рис. 3.4

Напряжение x(t) на выходе амплитудного детектора. На вход детектора подается сумма двух сигналов: узкополосного шума с гауссовским законом распределения вероятностей значений и детерминированного гармонического сигнала с постоянной амплитудой ; x(t) — огибающая суммы этих двух сигналов.

Напряжение x(t) имеет функцию распределения, соответствующую обобщенному закону Рэлея (рис. 3.5, а, б):

(3.5)

где  — дисперсия узкополосного шума ,  — амплитуда гармонического сигнала,  — модифицированная функция Бесселя нулевого порядка. Она табулирована; кроме того, ; при x ® ¥.

При обобщенное распределение Рэлея приближается к гауссовскому распределению (рис. 3.5, а, б).

Рис. 3.5

Гармонический сигнал с постоянной амплитудой и случайной фазой , где и w — постоянные амплитуда и угловая частота, j — случайная фаза, распределенная равномерно на интервале , т. е. плотность распределения фазы и функция распределения фазы имеют вид

(3.6)

Найдем функцию распределения напряжения случайного сигнала x(t). Это стационарный сигнал, поэтому можно положить t = 0. Тогда . Из графика функции x(j) (рис. 3.6, а) видно, что вероятность события (для ) равна вероятности события , где т. е. .

Используя определение функции распределения и выражение (3.6), последнее равенство можно записать в виде

для .

Из рис. 3.6, а видно также, что

Плотность распределения вероятностей значений x:

(3.7)

Графики функций и приведены на рис. 3.6, б и 3.6, в.

Согласно центральной предельной теореме теории вероятностей функция распределения суммы независимых случайных величин с близкими значениями дисперсий стремится к гауссовскому закону распределения при увеличении числа слагаемых, независимо от вида функций распределения слагаемых.

Аналитическое выражение для функции распределения суммы сигналов удобно получать через характеристическую функцию.

Рис. 3.6

Характеристическая функция q(x) сигнала x(t) связана с плотностью распределения вероятностей p(x) преобразованием Фурье:

; . (3.8)

Для суммы случайных величин характеристическая функция связана с совместной плотностью распределения вероятностей величин

.

Для независимых случайных величин

, (3.9)

а потому

, (3.10)

где  — характеристическая функция сигнала .

Последовательное использование зависимостей (3.10), (3.9) и (3.8) позволяет получить плотность распределения вероятностей суммы независимых сигналов по известным плотностям распределения отдельных слагаемых.

Найдем распределение суммы двух независимых случайных сигналов с одинаковым равномерным распределением. Пусть , где и  — независимые случайные сигналы с плотностями распределения вероятностей

Характеристические функции сигналов и одинаковы и равны

.

Согласно выражению (3.10) характеристическая функция суммы сигналов

.

Плотность распределения вероятностей суммы сигналов

Зависимости и p(x) приведены на рис. 3.7.

Рис. 3.7

Рис. 3.8

Для сигнала в виде суммы гармонических колебаний с равными амплитудами и независимыми случайными фазами , распределенными в интервале , плотность распределения вероятностей p(x) была рассчитана на ЭВМ для числа слагаемых N = 1, 2, 3, 4.

Графики зависимостей p(x) приведены на рис. 3.8. Видно, что с увеличением числа слагаемых плотность распределения их суммы стремится к гауссовскому распределению (ср. с рис. 3.4 при ).