Практическое занятие № 4 Синтезирование фильтров низкой частоты с помощью активных цепей

1. Определить комплексный коэффициент передачи K(p) активного фильтра второго порядка.

В интегральных схемах, не допускающих применения кату­шек индуктивности, цепь второ­го порядка реализуется с по­мощью активной RC-цепи. Один из возможных вариантов такой цепи представлен на рис. 1, а. Свойства этой цепи обусловлены применением операционного усилителя К₀ и обратной связи. Усилитель в рассматриваемой схеме должен обеспечить весьма небольшое усиление (не более нескольких единиц). Основные требования к усилителю — очень большое входное и близкое к нулю выходное сопротивления,

а) б)

Рис. 1. Активная RС-цепь второго порядка (а) и схема замещения (б)

а также отсутствие обратной связи. При выполнении этих требований усилитель можно рассматривать как идеальный источник напряжения (управляемый напряжением), что позволяет при определении токов и напряжений в схеме на рис. 1, а считать точки aиб разомкнутыми, а напряжение на выходе прирав­нивать к величине K₀Uc₂, где Uc₂ — напряжение на конденсаторе С₂. Эти допущения приводят к эквивалентной схеме на рис. 1, б, на которой усилитель K₀ опущен, а его влияние учтено тем, что напряжение на конденсаторе С₂ связано с выходным напряжением соотношением U_C2 = Е₂/K₀.

Применяя общие уравнения четырехполюсника к схеме, представленной на рис. 1, б, и учитывая добавочное условие

Е₂ = К₀ (I₁+I₂)/С₂р,

получаем

E₁=Z₁₁I₁+Z₁₂I₂, Е2 = Z₂₁I₁ + Z₂₂I₂ = Ко (I₁+ I₂)/C₂p.

Здесь

Z₁₁ = R₁+R₂+ 1/C₂p; Z_l2 = R2 + 1/С₂р;

Z₂₁ = R₂ + 1/C₂p; Z₂₂ = R₂ + 1/C₁ p + 1/С₂p.

Исключив ток I₂ из первого уравнения, после несложных преобразований получим следующее выражение для передаточной функции четырехполюсника:

(1)

Дальнейшая задача синтеза сводится к подбору резисторов, конденсаторов и усиления K₀, обеспечивающих требуемые значения коэффициентов b₁ и b₂ полинома:

Из первого равенства можно получить следующее выражение для требуемого коэффициента усиления:

K₀ = 1 + С₂/С₁ + R₂ C₂ /R₁ C₁ –b₁R₂C₂ .

2. Рассчитать параметры фильтра Баттерворта второго порядка.

Приведем пример синтеза фильтра Баттерворта второго порядка (п=2), представляющего собой одно звено с передаточной функ­цией

(2 )

Переходя в выражении (1) к нормированной частотной пе­ременной, , приводим его к виду

(3)

Приравнивая знаменатели в выражениях (2) и (3), по­лучаем следующие условия для определения параметров схемы:

(4)

Постоянную времени цепи R₂С₂ обычно приравнивают к вели­чине, близкой к 1/ω_с. Тогда и ω_cR₁C₁≈1; при этом первое условие (4) сводится к равен­ству

Задавая C₂/C₁ = 0,4, и, следовательно, R₂/R₁ = 2,5, получаем K₀ ≈ 1.

В данном примере операционный усилитель по существу сводится к эмиттерному повторителю.

Для количественной оценки параметров фильтра нижних ча­стот зададим частоту среза f_c = 1000 Гц, а емкость конденсатора С₂ =0,1 мкФ. Тогда

С₁ =С₂/0,4 = 0,25 мкФ; R₁ = 1/ω_сС₁ ≈ 640 Ом;

R₂= 1/ω_c С₂ ≈ 1600 Ом.

Литература: [1] с. 325 – 340; [2], с. 560 – 562, 568 – 573