Самостійна робота №1

Тема: «Побудова математичних моделей методом лінійного програмування».

Мета: «Навчитися створювати математичні моделі методами лінійного програмування»

Приклад 1. Записати у канонічній формі наступну задачу лінійного програмування (ЛП):

Розв’язування. Помножимо другу нерівність на (–1) і введемо допоміжні змінні х₄ і х₅ відповідно для другого і третього обмеження. Маємо:

Допоміжні змінні, в нашому випадку х₄ і х₅, є невід’ємним, а крім цього введення допоміжних змінних не змінює цільову функцію. Отже будь-яку задачу ЛП можна записати у канонічній формі виду:

при умовах

Задачу можна розв’язувати на мінімум, якщо цільову функцію помножити на (–1), тобто

Приклад 2. Птахоферма бажає розрахувати оптимальний кормовий раціон для тисячі курчат, яких вирощують до 8-тижневого віку. Тижневі витрати кормів для курчат залежать від їх віку, але вважатимемо, що в середньому за вісім тижнів вони мають масу 500 г. Для того щоб курчата досягли необхідних вагових кондицій, їх кормовий раціон має задовольняти певні вимоги поживності. Сформулюємо ці вимоги в прощеному вигляді, ураховуючи лише дві поживні речовини: білок і клітковину, що містяться в двох видах кормів — зерні та соєвих бобах. Інформацію, що характеризує вміст поживних речовин у кожному кормі та їх вартість, наведено в таблиці:

Вид корму	Вміст поживних речовин, %		Вартість 1 кг кормів, у.о.
	Білок	Клітковина
Зерно	10	2	0,40
Соєві боби	50	8	0,90

Готова кормова суміш має містити не менш як 20% білка і не більш як 5% клітковини. Необхідно визначити масу кожного з двох видів кормів, що утворюють кормову суміш мінімальної вартості, але при цьому зберігаються вимоги до загальних витрат кормової суміші та її поживності.

Побудова математичної моделі. Позначимо х₁ — маса (кг) зерна в кормовій суміші, а х₂ — вміст (кг) соєвих бобів у готовій кормовій суміші.

Загальна кількість суміші х₁ + х₂ повинна бути не меншою за 1000 · 0,5 = 500 (кг), тобто

х₁ + х₂ ≥ 500.

Обмеження з поживності кормової суміші мають вигляд:

1. Суміш має містити не менше як 20% білка:

10х₁ + 50х₂ ≥ 20 (х₁ + х₂).

2. Суміш має містити не більше як 5% клітковини:

2х₁ + 8х₂ ≤ 5 (х₁ + х₂).

Остаточне математичне формулювання задачі оптимізації кормового раціону в цьому випадку таке:

min Z = 0,40х₁ + 0,90х₂

Розв’язування. Графічне розв’язування задачі показано на рис. 2.10. Множина допустимих розв’язків даної задачі необмежена. Для вектора = (0,4; 0,9) можна змінити масштаб, наприклад = (200; 450). Найменшого значення цільова функція Z досягає в точці А, що лежить на перетині прямих. Визначимо її координати:

тобто Х* = (375; 125); min Z = 0,4 · 375 + 0,9 · 125 = 262,5.

Визначений оптимальний план задачі показує: для того, щоб отримати 500 кг кормової суміші мінімальної вартості (262,50 у.о.), необхідно взяти 375 кг зерна та 125 кг соєвих бобів. При цього вимоги до поживності кормової суміші виконуватимуться:

0,10 · 375 + 0,50 · 125 = 100 кг білка, що становить рівно 20% загальної маси суміші;

0,02 · 375 + 0,08 · 125 = 17,5 кг клітковини в кормовій суміші, що становить 3,5% її маси і не перевищує 5%.

Приклад 3. Невелике сільськогосподарське підприємство спеціалізується на вирощуванні овочів, зокрема капусти та томатів, використовуючи для цього мінеральні добрива (фосфорні та калійні). Норми внесення мінеральних добрив під кожну культуру та запас добрив у господарстві наведено в таблиці.

Вид мінеральних добрив	Норма внесення добрива, кг діючої речовини / га		Запас добрив, кг
	Капуста	Томати
Фосфорні	150	400	6000
Калійні	500	300	9000

Під вирощування овочів відведено земельну ділянку площею 20 га. Очікуваний прибуток господарства від реалізації 1 ц капусти становить 10000 ум. од., а 1 ц томатів — 20000 ум. од. Середня врожайність у господарстві капусти дорівнює 300 ц/га, а томатів — 200 ц/га.

Визначити такий варіант розміщення культур на земельній ділянці, який максимізує прибуток господарства за умови, що витрати мінеральних добрив не перевищують максимально можливий запас.

СПИСОК РЕКОМЕНДОВАНОЇ ЛІТЕРАТУРИ

1. Аксьонова О.М., Попович В.В., Сухоруков В.Ф. Економіко-математичне моделювання ОДАУ, Одеса, 2010

2. Багриновский К. А. Модели и методы экономической кибернетики. — М.: Экономика, 1973. — 206 с.

3. Березина Л. Ю. Графы и их применение. — М.: Просвещение, 1979.

4. Вітлінський В.В. Аналіз, оцінка і моделювання економічного ризику. – К.: ДЕМІУР, 1996.

5. Вітлінський В.В. Моделювання економіки: Навч. посібник. – К.: КНЕУ, 2003.

6. Вітлінський В.В., Великоіваненко Г.І. Ризикологія в економіці та підприємництві: Монографія. – К.: КНЕУ, 2004.

7. Гальперин В.М., Гребенников П.И., Леусский А.И., Тарасевич Л.С. Микроэкономика: Учебник /Общая редакция Тарасевича Л.С. Изд-во 2-е, перераб. и доп. – СПб.: Изд-во СПБГУЭФ, 1997.

8. Горбачук В. Макроекономічні методи. – К.: „Альтерпрес”, 1999.

9. Дубров А. М., Лагоша Б. А., Хрустаже Е. Ю. Моделирование рисковых ситуаций в экономике и бизнесе: Учеб. пособие. —М.: Финансы и статистика, 2000.

10. Ефимова М.Р., Петрова Е.В., Румянцев В.Н. «Общая теория статистики» Москва, «ИНФРА-М», 1998

11. Кобринский Н. Е. Основы экономической кибернетики. — М.: Экономика, 1969. — 255 с.

12. Котенко С.В. Проектування систем ОДАУ, Одеса, 2010

13. Котенко С.В., Попович В.В., Островська І.П. та ін. Проектування макроекономічних систем ОДАУ, Одеса, 2010

14. Моделі і методи прийняття рішень в аналізі та аудиті: навчальний посібник / за ред. Ф.Ф. Бутинця, М.М. Шигуна – Житомир.:ЖДТУ, 2004. – 352 с.

15. Пономаренко Л. А. Основи економічної кібернетики: Підручник. — К.: Київ. нац. торг.-екон. ун-т, 2002. — 432 с.

16. Потехин И. П., Гольман А. Ф. Кибернетика для экономистов. — Ижевск, Ин-т экономики и управления УдГУ, 2002. — 189 с.