- •Значение уровня ряда в момент времени I и I – 1 соответственно, т. Е.
- •Задача 2
- •Задача 8
- •1995–2006 Гг. (млн. М2 на конец года):
- •Решение:
- •Задача 11
- •Задача 12
- •Решение:
- •10 Месяцев вырос в 3,13 раза.
- •Задача 13
- •Решение:
- •Задача 16
- •Задача 18
- •Задача 2
- •Задача 3
- •Задача 10
- •Задача 20
- •Задача 21
- •Задача 23
- •Задача 36
- •Найдите уравнение регрессии, учитывая тенденцию:
- •Вопросы для самоподготовки
- •1,5. Коэффициент сезонности для IV квартала оказался:
- •0,1106T. Это означает, что ежегодно объем продукции:
- •Методические указания студентам
Задача 16
Имеются данные о затратах на рекламу (х — тыс. ден. ед.) и объеме продаж (у — тыс. ед.) за 10 месяцев года:
t |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
х |
6 |
8 |
11 |
9 |
14 |
15 |
11 |
21 |
28 |
32 |
y |
10 |
13 |
19 |
18 |
22 |
27 |
25 |
35 |
39 |
45 |
Требуется:
Построить уравнение регрессии по первым разностям и оценить тесноту
связи.
Дать прогноз на ноябрь, предполагая, что прирост затрат на рекламу будет тот же, что и в предыдущем месяце.
Решение:
Строим уравнение вида:
Δy = a + bΔx + ε ,
где ∆y, ∆x — ежемесячные цепные абсолютные приросты.
Они составили:
-
t
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Δx
-
2
3
-2
5
1
-4
10
7
4
26
-
Δy
-
3
6
-1
4
5
-2
10
4
6
35
Для оценки параметров применяем МНК, и система нормальных уравнений составит:
∑ Δy = na + b∑ Δx ;
∑ ΔyΔx = a∑ Δx + b∑ (Δx)2
.
В нашей задаче n = 9 (число абсолютных приростов),
∑ ΔyΔx = 211
∑ (Δx)2 = 224
.
Система уравнений:
35 = 9a + 26b.
211 = 26a + 224b.
Параметры уравнения следующие:
а = 1,757; b = 0,738.
Таким образом, уравнение регрессии имеет вид:
Δy = 1,757 + 0,738Δx + ε .
Оно означает, что с ростом скорости затрат на рекламу на 1 тыс. ден. ед. абсолютный прирост объема продаж увеличивается в среднем на 0,738 ед. Для прогноза воспользуемся формулой
y p = yn + a + b( x p − xn ) .
В задаче
yn = 45
x p − xn = Δx p
(прогнозируемая величина прироста). По условию она равна ∆x за октябрь,
т. е. 4. Тогда имеем:
y p = 45 + 1,757 + 0,738 * 4 = 49,7
Задача 17
Имеются данные за 10 месяцев о численности работников (х — чел.) и объеме продаж (y — тыс. ед.)
Месяц |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
х |
10 |
12 |
11 |
14 |
15 |
15 |
16 |
18 |
20 |
23 |
у |
25 |
32 |
33 |
36 |
40 |
42 |
38 |
45 |
55 |
60 |
Требуется:
Построить модель линейной регрессии по отклонениям от тенденций.
Найти коэффициент корреляции.
Дать прогноз на ноябрь, предполагая численность работников на уровне октября.
Решение:
Тенденцию ряда х можно представить в виде уравнения линейного тренда:
xt = a + bt + ε
Применяя МНК, получим для оценки параметров систему
нормальных уравнений:
⎧10a + 55b = 154
⎨
⎩55a + 385b = 954
Решая ее, получим уравнение тренда
xˆt
= 8,267 + 1,297t .
Подставляя в это уравнение значения t от 1 до 10, найдем теоретические
уровни ряда
xˆt . Это позволит далее найти отклонения от тенденции ex ,
т. е. ex
= xt
− xˆt
Тенденцию ряда у также представим в виде линейного тренда:
yt = a + bt + ε .
Применяя МНК, получим следующую систему нормальных уравнений:
⎧10a + 55b = 406
⎨
⎩55a + 385b = 2505 .
Решая ее, получим уравнение тренда:
yˆt
= 22,467 + 3,297t
Подставляя в это уравнение значения t от 1 до 10, найдем теоретические уровни ряда.
Далее находим отклонения от тренда по ряду у, т. е. ey
Результаты представим в таблице:
= yt
− yˆt .
-
t
yt
yˆt
ey
xt
xˆt
ex
1
25
25,8
-0,8
10
9,6
0,4
2
32
29,1
2,9
12
10,9
1,1
3
33
32,4
0,6
11
12,2
-1,2
4
36
35,7
0,3
14
13,5
0,5
5
40
39
1
15
14,8
0,2
6
42
42,2
-0,2
15
16
-1
7
38
45,5
-7,5
16
17,3
-1,3
8
45
48,8
-3,8
18
18,6
-0,6
9
55
52,1
2,9
20
19,9
0,1
10
60
55,4
4,6
23
21,2
1,8
406
406
0
154
154
0
Далее построим уравнение регрессии:
ey = a + bex + ut ,
где ut — ошибки
(ut
= ey
− eˆy ).
Для оценки параметров применяем МНК. Система нормальных уравнений составит:
∑ e y
= na + b∑ ex
x .
∑ e y ex= a∑ ex
+ b∑ e 2
В задаче
∑ e y = ∑ ex = 0
параметр a равен нулю;
∑ ey ex
= 23,3
x
∑ e 2 = 9,4параметр b равен 2,478, т. е. 23,3/9,4.
Таким образом, уравнение регрессии по отклонениям от трендов составит:
ey = 2,478ex + ut .
Коэффициент корреляции находим по обычной формуле линейного коэффициента корреляции с тем лишь отличием, что используем для расчета не исходные данные по у и х, а отклонения от тенденций, т. е.
ey ex − ey * ex
r =
e y ex
В задаче
σ e y σ ex
e y ex = 23,3 /10 = 2,33
e y = ex = 0
e
σ = 0,9695x
σ = 3,329
e y
r = 2,33
= 0,722
e y ex
0,9695 * 3,329
Прогноз дадим, используя формулу:
y p =
yˆ t = p + b(x p
− xˆt = p ),
где yp — прогнозируемый уровень объема продаж;
yˆ p =t
— прогноз по тренду
(подставляем в уравнение линейного тренда t = 11);
b — коэффициент регрессии из уравнения
ey = bex + ut ;
x p — прогнозная численность работников по условию задачи равно 23
(на уровне октября);
xˆt = p
— прогноз по тренду (подставляем в уравнение тренда t = 11).
В нашей задаче имеем:
yр = (22,467 + 3,297 * 11) + 2,478(23 – 8,267 – 1,297 * 11) = 58,734 + 2,478 *
0,466 = 59,9 тыс. ед.