Задача 2

Данные о динамике объема продукции по сравнению с предыдущим годом представлены в таблице:

Год	Произведено, тыс. ед.	Абсолютный прирост, тыс. ед.	Темп роста,%	Темп прироста,%	Абсолютное значение 1% прироста, тыс. ед.
2000	40	Х	Х	Х	х

2001		6
2002			105
2003				3,5
2004
2005			107		0,6

Требуется:

Заполнить таблицу и на ее основе рассчитать базисные показатели

динамики, а так же средние показатели за период.

Решение:

Так как данные приведены в сравнении с предыдущим годом, что

воспользуемся формулами цепных показателей динамики:

^Δ_цепн. ^{= у}i ^{– y}i – 1^{(цепной абсолютный прирост);}

Тр_цепн. = (у_i / y_{i – 1})100 — цепной темп роста;

^Т_{прир. цепн.}^{= Т}_р.цепн^{. — 100;}

^{Абсолютное значение 1% прироста = 0,01 у}_{i – 1}^.

Тогда имеем:

В 2001 г.:

^{Δ = 6 , т. е. у}₂₀₀₁ ^{– у}₂₀₀₀ ^{= 6;}

^{Соответственно у}₂₀₀₁ ^{= у}₂₀₀₀ ^{+ 6 = 46;}

Тр = (46/40)100 = 115%;

Тпр = 115 – 100 = 15%;

^{А = 0,01 у}₂₀₀₀ ^{= 0,4 тыс. ед.;}

В 2002 г.:

Темп прироста = 105 – 100 = 5%

^{Тр = (у}₂₀₀₂^/у₂₀₀₁^{)100; отсюда у}₂₀₀₂ ^{= 0,01 Тр * у}₂₀₀₁ ^{= 1,05 * 46 = 48,3 тыс. ед.;}

^{Δ = у}₂₀₀₂ ^{– у}₂₀₀₁ ^{= 48,3 – 46 = 2,3 тыс. ед.;}

^{А = 0,01у}₂₀₀₁ ^{= 0,46 тыс. ед;}

В 2003 г.:

Тр = Тпр + 100 = 103,5%

^{Тр = (у}₂₀₀₃^/у₂₀₀₂^{)100; у}₂₀₀₃ ^{= 0,01Тр* у}₂₀₀₂ ^{= 1,035 * 48,3 = 50;}

^{Δ = 50 – 48,3 = 1,7; А = 0,01 * у}₂₀₀₂ ^{= 0,48 тыс. ед.;}

^{В 2004 г.: А}₂₀₀₅ ^{= 0,01у}₂₀₀₄^{; у}₂₀₀₄ ^{= 100 * А}₂₀₀₅ ^{= 0,6 * 100 = 60 тыс. ед.;}

^{Δ= 60 − 50 = 10 тыс. ед.}

Тр = (60/50)100 = 120%; Тприр = 120 – 100 = 20%;

В 2005 г.:

Тпр = 107 – 100 = 7%;

^{Тр = (у}₂₀₀₅^/у₂₀₀₄^{)100; у}₂₀₀₅ ^{= 0,01 Тр * у}₂₀₀₄ ^{= 1,07 * 60 = 64,2 тыс. ед.;}

^{Δ = 64,2 – 60 = 4,2 тыс. ед.}

Базисные показатели динамики:

^{• абсолютные приросты:}

^Δ 2001 ^{= y}2001 ^{– y}2000 ^{= 6;}

^Δ 2002 ^{= y}2002 ^{– y}2000 ^{= 8,3, или Δ} 2001 ^{+ Δ} 2002 ^{= 6 + 2,3 = 8,3;}

^Δ 2003 ^{= y}2003 ^{– y}2000 ^{= 10, или Δ} 2002 ^{+ Δ} 2003 ^{= 8,3 + 1,7 = 10;}

^Δ 2004 ^{= y}2004 ^{– y}2000 ^{= 20, или Δ} 2003 ^{+ Δ} 2004 ^{= 10 + 10 = 20;}

^Δ 2005 ^{= y}2005 ^{– y}2000 ^{= 24,2, или Δ} 2004 ^{+ Δ} 2005 ^{= 20 + 4,2 = 24,2;}

базисный темп роста:

Тр ₂₀₀₁ = (y₂₀₀₁ / y₂₀₀₀)100 = (46/40)100 = 115%;

^Тр ₂₀₀₂ ^{= (y}₂₀₀₂ ^/y ₂₀₀₀^{)100 = (48,3 / 40)100 = 120,75%;}

^Тр ₂₀₀₃ ^{= (y}₂₀₀₃^/y₂₀₀₀^{)100 = (50/40)100 = 125%;}

^Тр ₂₀₀₄ ^{= (y}₂₀₀₄^/y₂₀₀₀^{)100 = (60/40)100 = 150%;}

^Тр ₂₀₀₅ ^{= (y}₂₀₀₅^/y₂₀₀₀^{)100 = (64,2/40)100 = 160,5%.}

Средние показатели:

^{• уровень ряда:}

₆

^{y = ∑ yi / n = 308,5 / 6 = 51,42 тыс. ед.}

¹

^{• абсолютный прирост:}

^{Δ = ( y} _n ^{− y}₀ ^{) / n = (64,2 − 40) / 5 = 4,84 тыс. ед.;}

или

^Δ= _∑ ^Δ_цепные ^{/ n = 24, 2 / 5 = 4, 84 тыс. ед.;}

_{• темп роста:}

^{Tp = 100 n}

^y_n ^{/ y}₀

^{= 100 5 64, 2 / 40 = 100 5 1, 605 = 109, 92% , или}

^{Tp = 100 5}

^K₁^K₂ ^...K₅ ^{, где К}₁^{, К}_2,…^К₅ ^{— цепные коэффициенты роста;}

^{Tp = 100 5 1,15 *1, 05 *1, 035 *1, 2 *1, 07 =109,92% — темп роста;}

^{Tприр = Тр – 100=109,92–100=9,92%. — темп прироста.}

Задача 3

Остатки товаров на складе составляли (тыс. руб.):

На 01.01.2008 г. — 300;

На 01.02.2008 г. — 420; На 01.03.2008 г. — 500; На 01.04.2008 г. — 200.

Вычислить средний остаток товаров на складе в I квартале 2008 г.

Решение:

Так как ряд моментный с равными интервалами (один месяц), то применим

среднюю хронологическую:

^{y = (0,5 у}₁ ^{+ у} ₂ ^{+ у}₃ ^{+ 0,5 у} ₄ ^{) / 4 − 1 ;}

^{у = (150 + 420 + 500 + 100) / 3 = 390 тыс. руб.}

Задача 4

Имеются данные о движении материальных запасов на предприятии в течение июня (тыс. руб.):

на начало месяца — 1200;

02.06 поступило на склад — 500;

04.06 отпущено в производство — 300;

07.06 отпущено в производство — 250;

12.06 поступило на склад — 400;

15.06 отпущено в производство — 850;

20.06 реализовано на сторону — 120;

28.06 отпущено в производство — 380.

Других изменений до конца месяца не было. Требуется определить средний запас материалов на предприятии за июнь.

Решение:

Период	Величина запаса, тыс. руб. yi	Длина периода, дней ti	yi ti
01.06	1200	1	1200
02–03.06	1700	2	3400
04–06.06	1400	3	4200
07–11.06	1150	5	5750
12–14.06	1550	3	4650
15–19.06	700	5	3500
20–27.06	580	8	4640
28–30.06	200	3	600
Итого		30	27940

Представим движение материальных запасов в таблице:

Средний запас определим по формуле:

^{y = ∑ yi ti / ∑ t i , т. е. имеем y =27 940/30=931,3 тыс. руб.}

Задача 5

Имеются данные о незавершенном строительстве в регионе (млн руб.):

на 01.01 — 2500; на 01.02 — 2700; на 01.06 — 3200; на 01.07 — 3000; на 01.10 — 4000;

на 01.01 следующего года — 3100.

Определите средний за год размер незавершенного строительства.

Решение:

Период	Средняя стоимость ~	Длина периода, месяцев, ti	~y ti i
01.01–31.01	2600	1	2600
01.02–31.05	2950	4	11800
01.06–30.06	3100	1	3100
01.07–30.09	3500	3	10500
01.10–31.12	3550	3	10650
Итого	Х	12	38650

Составим следующую таблицу:

^{млн руб., y}_i

Средняя стоимость незавершенного строительства может быть оценена по формуле:

_~

^{y = ∑ yi ti / ∑ t i , где:}

_~

^y_i ^{— смежные парные средние для периода i;}

t_i — длина периода.

Так, для периода с 01.01 по 31.01

i

^~y = (2500 + 2700) / 2 = 2600, а для

периода с 01.02 по 31.05

таблицы).

^~y = (2700 + 3200) / 2 = 2950 и т. д.(см. графу 2,

Используя итоговую величину последней графы, найдем среднюю стоимость незавершенного строительства: y =38 650 / 12 = 3220,8 млн руб.

Задача 6

Ежегодный прирост продукции характеризуется следующими данными (в процентах к предыдущему году):

2001 г.	2002 г.	2003 г.	2004 г.	2005 г.	2006 г.	2007 г.
5	7	3	8	10	15	9

Как изменяется объем продукции за весь рассматриваемый период? Какой

в среднем был темп прироста ежегодно? Оцените уровень 2007 г., если в

2000 г. было выпущено продукции 40 тыс. ед. Найдите среднегодовой абсолютный прирост.

Решение:

Чтобы оценить, как изменился объем продукции за весь период, т. е. за

2001–2007 гг., надо найти базисный темп роста, взяв за базу сравнения

2000 г. Воспользуемся взаимосвязью показателей динамики:

Произведение цепных коэффициентов роста равно базисному, т. е. К_баз. = К₁ * К₂ ……Кn — где К₁,К₂……К_n — цепные коэффициенты роста. В примере они составят:

К₂₀₀₁ = 1,05, К₂₀₀₂ = 1,07, К₂₀₀₃ = 1,03;

^К₂₀₀₄ ^{= 1,08, К}₂₀₀₅ ^{= 1,1, К}₂₀₀₆ ^{= 1,15, К}₂₀₀₇ ^{= 1,09.}

^{Следовательно базисный коэффициент роста составит: К}_баз ^{= 1,05 * 1,07 *}

1,03 * 1,08 * 1,10 * 1,15 * 1,09 = 1,723261. Базисный темп роста окажется

равным 172,33%, т. е. по сравнению с 2000 г. объем продукции в 2007 г.

вырос на 72,33%.

_{Чтобы оценить среднегодовой темп прироста, найдем сначала средний}

коэффициент роста по формуле:

^{Кp =}

^К₁ ^{*... * К}₇ ^{, т. е. получим}

^{Кp = 7 1, 05 *1, 07 *1, 03 *1, 08 *1,1*1,15 *1, 09 = 7 1,723261 =1,080848, т. е. в}

среднем ежегодный темп роста составлял 108,085%. Следовательно,

средний темп прироста 8,085%.

_{Чтобы оценить объем продукции в 2007 г. воспользуемся другой формулой}

^{среднего коэффициента роста: Кр = n}

^y_n ^{/ y}₀ ^{, т. е. в примере}

^{Кр = 7}

^у₂₀₀₇ ^{/ у}₂₀₀₀ ^{, тогда у}₂₀₀₇ ^{= у}₂₀₀₀ ^*

^{К 7 = 40 * 1,0808487}

= 68,93 тыс. ед.

Можно было и иначе: у₂₀₀₇ = у₂₀₀₀ * К_баз = 40 * 1,723261 = 68,93 тыс. ед.

Среднегодовой абсолютный прирост найдем по формуле:

^{Δ= ( у}_n ^{− у}₀ ^{) / n = ( у}₂₀₀₇ ^{− у}₂₀₀₀ ^{) / 7 = (68, 93 − 40) / 7 = 28, 93 / 7 = 4,13 тыс. ед.}

Задача 7

_{Имеются данные об инвестициях в основной капитал (млн. руб.).}

Годы	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
уt	18	16	20	19	22	21	25	26	24	28	26	30

Требуется:

1. Выявить тенденцию, применяя трехчленную скользящую среднюю.

2. Выявить тенденцию, применяя пятичленную скользящую среднюю.

3. Сравнить полученные результаты, представив их в таблице.

Решение:

_{1. Найдем трехчленные скользящие средние по средней арифметической}

простой:

₃

^{у%1 = ∑ у / 3,}

у

2

1

^~у = у / 3 , и т. д. Отнесем их к середине интервала,

4

_{2 ∑}

₂

т. е.

^у%₁

_{— к году 2,} ^~

— к году 3 и т. д. В результате ряд укорачивается

на два уровня, т. е. не исчисляется скользящая средняя для первого и последнего года.

_{2. Найдем пятичленные скользящие средние аналогично пункту 1, т. е.}

5

6

7

_{~ ~ ~}

^{у1 = ∑ у / 5 ;}

¹

^{у 2 = ∑ у / 5 ;}

²

^{у3 = ∑ у / 5}

³

и отнесем их к середине интервала, т.

^у%₁

е.

— к году 3,

у

2

^~ — к году 4 и т. д. В результате ряд укоротится на 4

уровня: отсутствуют скользящие средние для первых двух и последних двух лет:

Годы	уt	Трехчленная скользящая средняя	Пятичленная скользящая средняя
1	18
2	16	18,0
3	20	18,3	19,0
4	19	20,3	19,6
5	22	20,7	21,4
6	21	22,7	22,6
7	25	24	23,6
8	26	25	24,8
9	24	26	25,8
10	28	26	26,8
11	26	28
12	30

Как видим, тенденция к росту инвестиций при использовании скользящих

средних проявляется достаточно отчетливо. Пятичленная скользящая средняя дает лучший результат: нет ни одного случая нарушения тенденции.