Федеральное агентство по образованию

Государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

“Ивановский государственный

архитектурно-строительный университет”

Кафедра начертательной геометрии и графики

МНОГОГРАННИКИ

Методические указания по выполнению и оформлению

графического задания

по теме “Пересечение многогранников”

для студентов всех специальностей

Иваново 2005

Составитель: С.А.Новожилова

УДК 744.4 (076)

Многогранники: Методические указания по выполнению и оформлению графического задания по теме "Пересечение многогранников" для студентов всех специальностей / Иван. гос. архит.-строит. ун-т; Сост. С.А. Новожилова. – Иваново,2005. – 40с.

Изложены основные принципы проецирования многогранников. Приводится методика решения задач на построение линии взаимного пересечения поверхностей.

Для студентов 1 курса всех специальностей.

Рецензент

Морозов И.В. канд. техн. наук, доцент кафедры

начертательной геометрии и графики ИГАСУ

Содержание

Введение 4

1. Классификация поверхностей 5

2. Многогранники 6

2.1. Проецирование многогранников 9

2.1.1. Призма 10

2.4.2. Пирамида 15

3. Построение развёрток 19

4. Пересечение плоскости и прямой линии с многогранником 23

4.1. Пересечение плоскости с многогранником 23

4.2. Пересечение прямой с многогранником 28

5. Формулировка задания 33

6. Последовательность выполнения задания 33

Библиографический список 41

3

Введение

Мир поверхностей разнообразен и безграничен. Он простирается от элементарной, отличающейся простотой и математической строгостью плоскости до сложнейших, причудливых форм криволинейных поверхностей, не поддающихся математическому описанию.

Без преувеличения можно сказать, что по образованию форм и свойств, по своему значению при формировании различных геометрических фигур, по той роли, которую они играют в науке, технике, архитектуре, изобразительном искусстве, поверхности не имеют себе равных среди других геометрических фигур.

Естественно, что начертательная геометрия как наука, не может обойти вниманием такие важные геометрические фигуры, какими являются поверхности.

4

1. Классификация поверхностей

Все поверхности можно подразделить на графические, закон образования которых нам неизвестен, и геометрические, закон которых известен.

Графическая поверхность, отнесённая к земной поверхности, изображённая на рис.1, называется топографической.

Рис.1

Поверхности геометрические могут образованы движением в пространстве прямой или кривой линии, которая называется образующей.

В зависимости от формы образующей поверхности делятся на линейчатые, когда образующей служит прямая (рис.2), и нелинейчатые, когда образующей служит кривая (рис. 3), например, поверхность тора.

По признаку развёртывания поверхности могут быть развёртываемыми и неразвёртываемыми.

По признаку направляющих, которые могут быть ломаными, прямыми или кривыми, поверхности могут быть гранными или кривыми.

5

Если плоская фигура ограничивает многогранник, то поверхность будет граной, если плоские кривые правильной формы, то поверхности будут кривыми, причём, если в образовании участвуют окружности в качестве направляющих, то получаем поверхности вращения.

Часть пространства, ограниченная со всех сторон поверхностью, называется телом.

Рис.2

Рис.3

2. Многогранники

Геометрическое тело, ограниченное со всех сторон плоскостями, называется многогранником.

Плоские фигуры, ограничивающие многогранник, называются гранями 1(рис.4). Грани пересекаются между собой по прямым линиям, которые называются рёбрами 2 многогранника. Рёбра пересекаются в точках – вершинах 3 многогранника. В каждой вершине сходятся не менее трёх рёбер.

6

Рис.4

Многогранники различают в зависимости от формы и количества граней.

В технике чаще встречаются следующие многогранники:

Многогранник, две грани которого конгруэнтны, а остальные пересекаются по параллельным прямым, называется призмой (рис.5, б-е). Название призмы зависит от того, какой многоугольник лежит в её основании, если треугольник, то и призма называется треугольной, если четырёхугольник, то призма будет четырёхугольной и т.д. Призма, основанием которой служит параллелограмм, называется параллелепипедом (рис.5,в). Прямоугольный параллепипед, все рёбра которого конгруэнтны между собой, называется кубом (рис.5,а).

Многогранник, одна грань которого, называется основанием, есть многоугольник, а остальные грани треугольники с общей вершиной, называется пирамидой (рис.5, ж, з, и).

Пирамиды и призмы могут быть правильными, если их основанием служит правильный многоугольник и высота проходит через его центр. У правильных многогранников все грани – равные правильные многоугольники и все двугранные углы его конгруэнтны.

7

а) б) в)

г) д) е)

ж) з) и)

Рис.5

8