1.3 Приклад визначення середньої чисельності станів системи
Розглянемо приклад системи, яка описує локомотиви, що обслуговують полігон мережі залізниць. Для спрощення будемо вважати, що всі локомотиви однакові і наша система буде складатися з однорідних елементів. Метод динаміки середніх також можна застосувати і для систем з неоднорідних елементів.
Кожен елемент системи – локомотив – може знаходитись у одному із кількох станів: 1 – справна робота; 2 – поломка; 3 – ремонт на місці; 4 – ремонт в депо (рисунок 1.3).
E1
λ41
λ12
λ31
E2
λ24
E4
E3
λ23
Рисунок 1.3 — Граф станів локомотива
Запишемо для графу станів, що зображено на рисунку 1.3, систему рівнянь Колмогорова, в результаті розв’язання якої на ПЕОМ отримаємо залежності середньої чисельності станів у часі.
(1.10)
Вихідні дані для розрахунку наведені у таблиці 1.1.
2 Дослідження структури динамічної системи та її оптимізація
З метою дослідження і подальшого удосконалення структури динамічних систем, зокрема структури залізничних підрозділів (станцій, вокзалів, терміналів та ін.), доцільно використовувати апарат теорії масового обслуговування (ТМО). Необхідною складовою у процесі побудови моделі є дослідження структури та визначення параметрів вхідних транспортних потоків і потоків обслуговування та формування структурного перетворення, що дозволить визначити показники ефективності динамічної системи та оптимізувати її структуру.
Символіка Кендалла. Для уніфікації описання моделей теорії масового обслуговування у 1953 році англійським вченим Д.Дж.Кендаллом було запропоновано систему позначень, яка нині включає 6 основних факторів, що характеризують системи масового обслуговування.
A/B/C/K/N/D
A – природа вхідного потоку, наприклад:
M |
пуасонівський вхідний потік (інтервали часу між надходженнями вимог розподілені за експоненційним законом) |
D |
детермінований потік (постійний інтервал) |
Ek |
потік Ерланга k-го порядку |
G |
потік, що заданий математичним очікуванням та дисперсією (нормальний розподіл), |
та ін.
В – природа потоку обслуговування, наприклад:
M |
пуасонівський потік обслуговування (інтервали часу обслуговування вимог розподілено за експоненційним законом) |
D |
детермінований потік (постійний час обслуговування) |
Ek |
потік Ерланга k-го порядку |
G |
потік, що заданий математичним очікуванням та дисперсією (нормальний розподіл) |
та ін.
C – кількість каналів обслуговування (або обслуговуючих пристроїв);
K – максимальна місткість черги (кількість місць для очікування);
N – розмір множини вимог (для закритих систем);
D – дисципліна обслуговування.
Позицію K може бути не використано, якщо довжина черги необмежена; N – якщо система не є закритою системою з детермінованою кількістю вимог, що в ній циркулюють; D – якщо, порядок обслуговування вимог не є принципово важливим або невідомий.
Приклад використання символіки Кендалла
M/M/2/5
│ │ │└кількість місць для очікування (максимальна місткість черги)
│ │ └─кількість каналів обслуговування
│ └── експоненційний потік обслуговування
└────пуасонівський вхідний потік
Для формалізації процесу моделювання розглянемо залізничну станцію як систему типу M/M/n/m.