Міністерство освіти і науки, молоді та спорту України

Українська державна академія залізничного транспорту

Факультет Управління процесами перевезень
Кафедра Управління експлуатаційною роботою

Робочий зошит для виконання контрольної роботи № 2

МЕТОДИ ДОСЛІДЖЕННЯ СКЛАДНИХ СИСТЕМ

з дисципліни «Основи теорії систем і управління»

КРУ.200.00.__ ПЗ

(тема дипломного проекту (роботи))

Перевірив ___________________

(посада, вчене звання)

________ ___________________

(підпис) (ініціали і прізвище)

___ ___ 201__ р.

студент

Розробив ____________________

групи

шифр

________________________________

________________________________

________ ___________________

(підпис) (ініціали і прізвище)

___ ___ 201__ р.

2012

Рекомендовано для студентів спеціальності 100403. ОПУТ (залізничний транспорт) заочної форми навчання і слухачів ІППК.

Укладачі:

проф. Т.В. Бутько,

доц. О.М. Ходаківський,

доц. В.В. Петрушов,

ас. В.М. Прохоров,

ас. Т.В. Головко.

Зміст

Вступ ……………………………………………………………………...4

1 Визначення середньої чисельності станів системи………………......5

1.1 Модель визначення середньої чисельності станів системи…….....5

1.2 Вибір вихідних даних для визначення середньої чисельності станів системи……………………………………………...9

1.3 Приклад визначення середньої чисельності станів системи…......10

2 Дослідження структури динамічної системи та її оптимізація….…14

2.1 Технологія дослідження структури та визначення параметрів транспортних потоків. Перевірка гіпотези щодо структури транспортних потоків.........................................................................…..15

2.2 Вибір вихідних даних для визначення структури вхідних поїздопотоків……………………………………………………………17

2.3 Програма та методика виконання роботи........................................17

2.4 Визначення показників ефективності функціонування залізничної станції як підсистеми транспортної системи.........................................20

2.5 Вибір вихідних даних для розрахунку показників ефективності залізничної станції....................................................................................23

2.6 Програма та методика виконання роботи........................................23

Висновки……………………………………………………………...…26

Список рекомендованої літератури……………………………………27

Додаток А. Варіанти індивідуальних завдань студентів……………..28

Додаток Б. Вимоги до оформлення роботи…………………………..37

Вступ

Цей робочий зошит є методичною основою для дослідження поведінки складних систем на основі математичного моделювання. Під математичною моделлю розуміється формалізоване представлення системи за допомогою математичних символів або алгоритмів. Процес моделювання спирається на строгу теоретичну базу, що включає теорію аналогії і подібності. Формування математичної моделі передбачає встановлення зв’язку між вектором входів, вектором стану системи і вектором виходу.

Задачею математичного дослідження є прогноз функціонування чи розвитку досліджуваної системи. Для її вирішення треба задати зовнішні впливи на об’єкт протягом розглянутого часу і за допомогою побудованої математичної моделі визначити динаміку змінних чи розподіл імовірнісних значень параметрів, що характеризують функціонування системи.

Математичне дослідження передбачає: виявлення причинно-наслідкових відношень у досліджуваній системі, ідентифікацію параметрів математичної моделі, визначення особливостей поведінки систем, знаходження точок екстремуму, встановлення керованих параметрів, які управляють оптимізацією рішень за заданими критеріями.

У цій методичній розробці, згідно з програмою дисципліни, на прикладі дослідження функціонування транспортних систем студентам пропонується виконати дослідження складних систем, використовуючи такі методи: метод динаміки середніх для встановлення середніх чисельностей станів однорідної системи, апарат теорії масового обслуговування, виконати дослідження параметрів і структури транспортних потоків та визначити характеристики ефективності функціонування об’єкту.

Зміст робіт та вимоги до їх виконання наведені у додатку Б.

1 Визначення середньої чисельності станів системи

1. Модель визначення середньої чисельності станів системи

У цій задачі студенту необхідно дослідити залізничний об‘єкт відповідно до свого завдання, визначити, у яких станах він може знаходитись, розрахувати середню чисельність станів та побудувати графік, що відображає процес переходу між станами в залежності від часу. Для дослідження характеристик випадкових процесів у складних системах з великою кількістю станів пропонується використовувати метод динаміки середніх.

Для вирішення поставленої задачі представимо залізничний об’єкт як складну систему . Нехай складна система складається з однотипних елементів, кожен з яких може випадковим чином переходити із одного стану в інший. Припустимо, що потоки подій, які переводять систему з стану в стан, є Пуасонівськими з інтенсивністю в загальному випадку, що залежать від часу (тобто ). Тоді процес в системі буде Марковським. Кожен елемент системи може знаходитися в можливих станах: , а стан системи у момент часу характеризується числом елементів, що знаходяться в кожному стані. Позначимо через – число елементів, що знаходяться в момент часу t в стані Е_К. Величина називається середньою чисельністю стану . Вочевидь, що

, (1.1)

є випадковою величиною, для якої треба знайти математичне очікування та дисперсію .

Для кожного -го елемента, введемо величину

.

Тоді для моменту

. (1.2)

Враховуючи, що величини є незалежними між собою, використовуємо теорему складання математичних очікувань і дисперсій

(1.3)

Запишемо розподіл величини

	0	1

.

У верхньому рядку розподілу наведено можливі значення величини , а в нижньому - їх імовірності.

Тоді

(1.4)

де - імовірність того, що окремий елемент у момент буде знаходитись в стані .

Дисперсія величини буде дорівнювати

(1.5)

Підставивши вирази (1.4) і (1.5) у (1.3), знайдемо математичне очікування і дисперсію чисельності стану

(1.6)

(1.7)

Таким чином, задачу визначення середньої чисельності станів системи зведено до задачі визначення ймовірностей станів окремих елементів. Ці імовірності визначаються на основі сформованого графу станів окремого елемента щодо досліджуваного технологічного процесу. При цьому необхідно знати інтенсивності , які переводять елемент зі стану в стан . Величина де - середній час перебування елемента в стані .

Як приклад розглянемо систему, що складається з вантажних вагонів, кожен з яких може знаходитися в таких станах: - справний, - в технічному огляді, - в ремонті. Тоді відповідний граф станів має наступний вигляд, як на рисунку 1.1.

Рисунок 1.1 – Граф станів вантажного вагона

Позначимо через - чисельність вантажних вагонів у справному стані ; - чисельність вантажних вагонів у технічному огляді; - чисельність вантажних вагонів у ремонті.

Складемо систему диференційних рівнянь Колмогорова безпосередньо для середньої чисельності станів :

(1.8)

Для кожного моменту часу повинна виконуватися умова нормування

. (1.9)

Систему диференційних рівнянь (1.8) потрібно розв’язувати при початкових умовах: ; ; ; .

Процес розв’язання доцільно проводити аналітичними або чисельними методами в програмному середовищі Scilab.

В результаті розв’язання будуть отримані залежності , які схематично мають вигляд, наведений на рисунку 1.2.

Рисунок 1.2 – Залежності середньої чисельності станів системи (Скопировать со скайлаба)