Тема 5. Принципи асиметричних криптосистем.

Для будь-якого цілого а і натурального b однозначно визначені цілі числа q і r такі, що а = bq + r і 0 < r < b. Числo q нaзивається часткою, а r – остачею від ділення а на b Наприклад, рівність –20= (–1)67 + 47 означає, що –20 при діленні на 67 дає частку –1 і остачу 47. Для остачі будемо вживати таке позначення r = a mod b. Число r будемо також називати (зведеним) лишком числа a за модулем b. Числа а і b називаються взаємно простими, якщо НСД (а, b) = 1. Алгоритм Евкліда (3 ст. до н.е.) для знаходження НСД двох натуральних чисел а і b грунтується на співвідношеннях

НСД (а, b) = НСД (а, а mod b) для а > b

НСД(а,0) = а

Продемонструємо ідею цього алгоритму на прикладі.

Приклад. Щоб знайти НСД (211, 79), застосовуємо алгоритм Евкліда. Робота алгоритму зводиться до кількаразового ділення з остачею:

211 = 792 + 53

79 = 531 + 26

53 = 262 + 1

26 = 126 + 0

Маємо НСД (211, 79) = НСД (79, 53) = НСД (53, 26) = НСД (26,1) = НСД(1,0) = 1.

Алгоритм Евкліда дає такий наслідок.

Твердження 2.2. Для кожної пари взаємно простих чисел а і b можна знайти такі цілі и і v, що иа + vb = 1.

Приклад. Нехай а = 211, b = 79. Протокол роботи алгоритму Евкліда виписаний у попередньому прикладі. Рухаючись знизу вверх, отримуємо

1 = 1  53 + (-2)  26 = 1  53 + (-2)  (79 - 1  53) = (-2)  79 +3  53 = (-2)  79 + 3  (211 - 2  79) = 3  211 + (-8)  79.

Отже, и = 3 і v= – 8.

Елемент, обернений до х за модулем n відносно множення, будемо позначати через х^-1 mod n або просто х^-1. Це означає, що хх^-1mod n =1.

Приклад. Нехай ми хочемо знайти елемент, обернений до 79 за модулем 211. Вище була отримана рівність 1 = 3211 + ( – 879. З неї випливає, що (–8)79 = 1(mod211). Отже, 79^-1 mod 211 = (-5) mod 211 = 203.

Функцією Ейлера від числа n є кількість натуральних чисел, взаємно простих з n і позначається (n).

Теорема Ейлера (1763). Для взаємно простих цілого х і натурального п справедлива конгруенція х^(n) = 1 (mod n).

Мала теорема Ферма (1640). Якщо ціле х не ділиться на просте р, то х^р-1= 1 (mod p).

Китайська теорема про остачі (і ст. до н.е.). Для будь-якої пари взаємно простих натуральних чисел п₁ і n₂ та для будь-якої пари цілих чисел x₁ і x₂, можна знайти таке ціле х, що х = х₁ (mod n₁) і х = x₂ (mod n₂).

Приклад. Нехай ми хочемо знайти ціле х, яке при діленні на 211 давало б остачу 100, а при діленні на 79 остачу 10. Вище була отримана рівність 1 = 3211 + (-8)79. Отже, в якості х можна взяти: 103211+ 100(-8)79 = -56870. Зрозуміло, що це число можна замінити його остачею від ділення на 21179 = 16669. В результаті отримуємо 9806.

Тема 6. Криптосистема rsa.

Запропонована 1977 року система RSA є чи не найполулярнішою криптосистемою з відкритим ключем. Назва системи утворена з перших літер імен її винахідників — Рональда Райвеста, Алі Шаміра та Леонарда Адлемана.

Генерування ключів. Вибирають два досить великі прості числа р і q. Для їх добутку п= pq значення функції Ейлера дорівнює (n) = (р–1)(q–1) = п–р–q+1. Далі випадковим чином вибирають елемент е, що не перевищує значення ф(п) і взаємно простий з ним. Для е за алгоритмом Евкліда знаходять елемент d, обернений до е за модулем ф(п), тобто ed = 1 (mod ф(п)).

Як результат покладають:

Відкритий ключ: е,п.

Таємний ключ: d.

Шифрування відбувається блоками. Для цього повідомлення записують у цифровій формі і розбивають на блоки так, що кожен блок позначав число, яке не перевищує п. Алгоритм шифрування Е у системі RSA полягає у піднесенні М до степеня е. Записуємо це так: Е(М) = М^е mod n. В результаті отримується блок криптотексту С = Е(М).

Дешифрування. Алгоритм дешифрування D блоку криптотексту С полягає у піднесенні С до степеня d, тобто

D(C) =C^d modn.

Приклад 2.1. Нехай р = 53 і q = 67. Тоді п = 3551 і (п) = 3432. Візьмемо е = 1021 — за допомогою розширеного алгоритму Евкліда легко перевірити, що НСД (1021,3432) = 1. Одночасно обчислюємо d=1021^-1 mod 3432 = 1237. Ключі вибрано.

Відкритий ключ е = 1021 і n = 3551 оприлюднюємо. Тепер будь-хто може послати нам зашифроване повідомлення. Припустимо, один із ділових партнерів вирішив послати нам вказівку ПРОДАЙ. Спочатку він перетворює своє повідомлення у цифрову форму, замінюючи кожну літеру її двоцифровим десятковим номером в алфавіті: 1920 1805 0013. Видно, що з нашим модулем п цифрове повідомлення варто розбивати на блоки по 4 цифри, як це і зроблено. При шифруванні перший блок 1920 перетворюється у 1920¹⁰²¹ mod 3551 = 2393. Таким же чином шифруються наступні два блоки, і в результаті виходить криптотекст 2393 17S8 2188.

Отримавши цей криптотекст, проводимо дешифрування піднесенням кожного блоку до степеня d = 1237 за модулем п = 3551. Можна переконатись, що 2393¹²³⁷ mod 3551 = 1920 і т.д.