Решение

Так как материал стержня работает только на растяжение-сжатие, то в точках стержня имеет место одноосное напряженное состояние, и условие прочности можно записать в виде

_zmax   или _zmax = N_max/F  .

Площадь поперечного сечения стержня F = 3d²/4.

Следовательно, _zmax = 4N_max/ 3d²  ,

откуда d  . (11)

Для нахождения наибольшего значения продольной силы N_max, запишем выражение для этой функции

N(z) = N(0) - q₁z + q₁(z-l₁) - q₂(z-l₁).

Для заданных условий закрепления на правом конце стержня граничное условие будет

N(l₁ + l₂) = Р  N(0) - q₁(l₁ + l₂) + q₁l₂ - q₂l₂ = Р,

откуда

N(0) = 502-301 + 20 = 90 кН.

Окончательно получаем:

N(z) = 90 - 50z + 50(z - 2) + 30(z - 2).

Вычисляем значение продольной силы на границах участков

N(0) =90 кН N(l₁) = -10 кН

N(l₁) = -10 кН N(l₁ + l₂) = 20 кН.

По полученным значениям строим эпюру N (рис. 12), из которой видно, что N_max = 90 кН. Подставляя в формулу (11), получаем

D  .

Из нормального ряда диаметров принимаем размер d = 20 мм.

q₁ q₂

P

l₁ l₂

90

20

N(z)

10

Рис. 12

П р и м е р 2. По заданной схеме нагружения (рис.13) для стального стержня необходимо:

1. Подобрать диаметр d круглого поперечного сечения из расчета на прочность по теории наибольших касательных напряжений.

2. Вычислить главные линейные деформации в опасной точке стержня.

m

L

_{1,5 l}

_l

_d

Рис. 13

Исходные данные:

L = 4 кНм; m = 8 кНм/м; l = 1 м;  = 160 МПа.

Решение

При кручении в стержнях возникает двухосное напряженное состояние – чистый сдвиг. В точках поперечного сечения, лежащих на контуре, возникают наибольшие касательные напряжения:

_max = M_к/W_.

Условие прочности при сложном напряженном состоянии

_экв  .

По теории наибольших касательных напряжений

_экв = ₁ - ₃.

При чистом сдвиге ₁  , ₂  0, ₃  -.

Следовательно

_экв = ₁ - ₃ = 2_max = 2 M_к/W_.

Для стержня круглого поперечного сечения полярный момент сопротивления W_ = 0,2d³.

Условие прочности примет вид:

_экв = M_к/0,1d³  .

Откуда

d  .

Для определения наибольшего значения крутящего момента необходимо построить график этой функции.

1. Уравнение крутящего момента

М_к(z) = М_к(0) - m(z-l).

На левом конце стержня М_к(0) = L, тогда М_к(z) = 4 – 8(z – 1). Вычисляем значения крутящего момента на границах участка

М_к(0) = 4кНм,

М_к(l) = 4кНм,

М_к(2,5l) = -8кНм

и строим эпюру М_к(z).

m

L

_{1,5 l}

_l

₄

₄

M_k(z)

₈

Рис. 14

М_кmax = 8кНм

Подставляя численные значения, находим

d  .

Принимаем диаметр стержня d = 80 мм.

2.Вычисляем наибольшие касательные напряжения в опасном сечении

_max = M_кmaх/0,2d³ = 8/0,28³10^-6 = 78 МПа.

Главные напряжения в опасных точках этого сечения ₁ = 78 МПа;

₂ = 0 МПа; ₃ = - 78 МПа.

Главные линейные деформации для упругого тела определяем по формулам обобщенного закона Гука, приняв для стали модуль Юнга Е=210⁵ МПа, коэффициент Пуассона =0,3

₁ = [₁ - (₂ + ₃)]/Е = (78 + 0,378)/210⁶ = 50,710^-6

₂ = [₂ - (₃ + ₁)]/Е = 0;

₃ = [₃-(₂ + ₁)]/Е = -50,710⁶.

Следовательно, и деформированное состояние при кручении будет двухосное.

П р и м е р 3. По заданной схеме нагружения для стержня подобрать двутавровое поперечное сечение из расчета на прочность. Для выбранного стержня построить эпюры нормальных и касательных напряжений и проверить прочность стержня в опасных точках по третьей теории прочности.

Р

l

l

Рис.15

Исходные данные: Р = 72 кН, L = 16 кНм, l = 0,5 м,  = 160 МПа.