- •Расчет прямых стержней на прочность
- •Рекомендации по оформлению пояснительной записки
- •Краткие сведения из теории
- •III. Напряжения в поперечных сечениях стержней с прямой осью
- •Уравнение нулевой линии при косом изгибе
- •Обобщенный закон Гука
- •Для стали можно считать
- •Механические свойства материалов и расчеты на прочность
- •Решение
- •Решение
- •Следовательно
- •Решение
- •Окончательно получаем
- •Решение
- •Решение
- •Решение
- •Главные напряжения в этой точке
- •Приложения к расчетно-графическим работам
- •Задача № 2
III. Напряжения в поперечных сечениях стержней с прямой осью
Рассматриваются случаи линейно-упругих стержней при весьма малых деформациях, когда перемещения точек оси стержня значительно меньше высоты поперечного сечения. При выводе формул для определения напряжений принимается гипотеза плоских сечений и предполагается, что нормальные напряжения в продольных сечениях пренебрежительно малы по сравнению с напряжениями в поперечном сечении х = 0, у = 0.
Для вычисления нормальных напряжений в поперечных сечениях прямых стержней применяют формулу:
z = + y- x, (7)
где z – нормальные напряжения в точке поперечного сечения с координатами x и y,
N – продольная (нормальная) сила в рассматриваемом сечении,
Мх, Му – изгибающие моменты в том же сечении,
F – площадь поперечного сечения,
Jx,, Jy – осевые моменты инерции поперечного сечения относительно его главных центральных осей инерции Х и У.
В частных случаях нагружения для вычисления нормальных напряжений используются соответствующие слагаемые формулы.
1. Растяжение-сжатие N 0, Мх = Му = 0.
z =
Нормальные напряжения не зависят от координат точек поперечного сечения, т.е. все точки сечения равноопасны.
Прямой изгиб Мх 0, N = 0, Му = 0.
z = y.
В точках сечения, лежащих на оси Х, напряжения равны нулю, т.е. ось Х в данном случае будет являться нулевой линией. Наибольшие напряжения будут возникать в точках, наиболее удаленных от нулевой линии с ординатой ymax.
zmax = ymax= ,
где Wx = – осевой момент сопротивления.
Косой изгиб Мх 0, Му 0, N = 0.
z = y - x.
Уравнение нулевой линии при косом изгибе
y0 = x0,
где xо, yо – координаты точек, лежащих на нулевой линии в системе главных центральных осей.
Следовательно, нулевая линия при косом изгибе всегда проходит через начало координат (центр тяжести сечения). Наибольшие напряжения будут возникать в точках наиболее удаленных от нулевой линии.
Внецентренное растяжение-сжатие
В этом случае все три интегральные характеристики отличны от нуля N 0, Мх 0, Му 0.
z = + y - x.
Уравнение нулевой линии:
yо = x0 - .
В этом случае нулевая линия не проходит через начало координат.
5. Поперечный изгиб
Поперечным изгибом называется такой вид нагружения стержня, когда в поперечном сечении одновременно Мх 0, Qy 0.
Нормальные напряжения в точках поперечного сечения определяют по той же формуле, что и при чистом изгибе.
z = y,
а касательные напряжения можно вычислять по формуле Журавского:
zy = , (8)
где Qy – значение поперечной силы в сечении,
Jx – главный центральный момент поперечного сечения стержня,
S - статический момент отсеченной части поперечного сечения,
b(y) – ширина поперечного сечения в том месте, где вычисляется касательное напряжение.
Для того чтобы найти S , необходимо через точку, где нужно вычислить zy, провести прямую, параллельную главной центральной оси Х, и найти статический момент части сечения, лежащей выше или ниже этой линии. Например, для сечения (рис. 9) необходимо найти касательные напряжения в т.А. Линия, проведенная через эту точку, рассекает сечение на две части Fотс’ и Fотс”. Точки 1 и 2 соответственно центры тяжести этих площадей. Тогда
S
Fотс’
Y
X
b(y)
A
y1
Fотс”
y2
Рис. 9
6. Кручение
Кручением называется такой вид нагружения, когда в поперечном сечении стержня возникает крутящий момент Мк 0.
Касательные напряжения, возникающие в точке поперечного сечения с радиус-вектором , определяются по следующей формуле:
= , (9)
где J - полярный момент инерции поперечного сечения.
Эта формула справедлива только для стержней круглого поперечного сечения, так как только в этом случае применима гипотеза плоских сечений.
Наибольшие касательные напряжения возникают в точках контура.
= ,
где W = - полярный момент сопротивления.
Для круга J = d4/32 = 0,1d4,
W = d3/16 = 0,2d3.
Напряженное состояние в точке деформируемого тела
Напряженное состояние в точке деформируемого тела характеризуется совокупностью напряжений на всех возможных площадках, проходящих через данную точку.
Достаточно знать напряжения на трех взаимно-перпендикулярных площадках, чтобы вычислить напряжения на любой площадке, проходящей через рассматриваемую точку. Совокупность напряжений на трех координатных площадках называется тензором напряжений.
T=
Площадки, на которых касательные напряжения равны нулю, называются главными площадками, а нормальные напряжения на этих площадках называются главными напряжениями, нумеруются в порядке убывания 1 2 3 и находятся из кубического уравнения:
3 - J12 + J2 - J3 = 0, (10)
где J1 = x + y + z,
J2 = xy + xz + zy - xy2 - xz2 - zy2,
J3 = xyz - xzy2 - yzx2 - zxy2 + 2xyzyxz.
Положение главных площадок задается направляющими косинусами
li = cos(x,i), mi = cos(y,i), ni = cos(z,i) нормалей i главных площадок
(i = 1, 2, 3). Для нахождения их величин используют два уравнения из системы
(x-i)li + xymi + xzni = 0,
yxli + (y-i)mi + yzni = 0,
zxli + zymi + (z-i)ni = 0,
к которым следует присоединить дополнительное условие
li2 + mi2 + ni2 = 1.
Здесь i - одно из трех главных напряжений. Различают следующие виды напряженных состояний: одноосное, двухосное и трехосное в зависимости от числа корней характеристического уравнения.
Наибольшие касательные напряжения возникают на площадках, равно наклоненных к первой и третьей главным площадкам, и равны
max = .
Рассмотрим теперь напряженное состояние в опасных точках стержня.
При поперечном изгибе в опасной точке поперечного сечения действуют нормальные напряжения от изгиба и касательные напряжения, вызванные поперечной силой.
При изгибе с кручением возникают нормальные напряжения от изгиба и касательные напряжения от кручения. В силу принятых гипотез в продольных сечениях стержня нормальные напряжения у и х равны нулю.
y
zx
xz
z z
Рис.10
Если в окрестностях опасной точки радиальным, тангенциальным и поперечным сечениями выделить бесконечно малый элемент, то на гранях его будут возникать только напряжения, показанные на рис.10. Заштрихованная грань элемента совпадает с поперечным сечением. Инварианты напряженного состояния будут
J1 = z; J2 = -zx2; J3 = 0.
Следовательно, напряженное состояние будет двухосным и характеристическое уравнение примет вид
(2-J1+J2) = 0.
Один корень этого уравнения будет нулевой, т.е. одно главное напряжение равно нулю и два других определяются из квадратного уравнения и равны
= .
Таким образом, главные напряжения в стержне будут равны
1 = , 3 = .
Из рисунка 10 видно, что на площадке перпендикулярной оси Y отсутствуют касательные и нормальные напряжения, т.е. вторая главная площадка 2 = 0 и направляющие косинусы нормали к этой площадке будут l2 = 0, m2 = 1, n2 = 0.
Поскольку главные площадки взаимно перпендикулярны, то первая и третья главные площадки будут параллельны оси Y.
Следовательно,
m1 = m3 = 0 и нормали 1 и 2 будут параллельны плоскости XZ.
Для нахождения направляющих косинусов в этом случае можно воспользоваться каким-либо одним из уравнений. Найдем положение первой главной площадки. Для этого используем первое уравнение системы
(0-1)l1 + 0 + zxn1 = 0.
Если обозначить через 1 угол между нормалью 1 и осью Х, то получим l1 = cos1, n1 = sin1 и
-1cos1 + zxsin1 = 0.
Откуда tg1 = 1/zx.
Из того же уравнения можно найти и положение третьей главной площадки
(0-3)l3 + zxn3 = 0.
Обозначив через точку угол между нормалью и третьей главной площадкой и осью Х, получим
-3cos + zxsin = 0,
tg = 3/zx = 3/zx.
Положительные углы и откладывать против часовой стрелки от оси Х.