3. Производная произведения

Пример 3.1. y = xsinxe^x.

► Пользуясь формулой (uv)` = u`v + uv` получим

(*) (xsinxe^x)` = xe^x cosx + e^xsinx(x + 1)

Здесь удобно взять u = xe^x,а v = sinx.Так как u – произведение двух функций, x и e^x, то воспользуемся формулой для вычисления произведения двух функций

u` = u<sub>1</sub>`v₁+u₁v₁` = e^x(x + 1), где u₁ = e^x, v₁ = x.

Подставляя найденное u` и v` = cosx получим (*)◄

Пример 3.2. y = sinxcosx(a^x)

► Действуя по аналогии с примером 3.1. возьмем u = sinxcosx и v = e^x, тогда

u` = cos<sup>2</sup>x-sin<sup>2</sup>x = cos2x, v` = e^x

По формуле для производной произведения получим

(sinxcosxe^x)` = u`v + uv` = e^xcos2x + e^xsinxcosx = e^x(cos2x + (sin2x)/2) ◄

1) ( 2^x log₂₅x(-x⁵⁶)) 2) ( 4^x sinx(-arctg(x))) 3) (3^x tgx(-arccos(x)))

4) ( 5^x ctgx(-x5^a)) 5) ( a^x log₂x(-x⁷)) 6) (7^x log₄x(-x³))

7) ( 8a^x log₇x(-x⁹)) 8) ( 9^x log₃x(-5x⁸)) 9) (343^xlog₂₁x(-x³³))

10) ( 77^x log₆₃x(-4x⁸)) 11) ( 22^x log₂₃x(-x^a)) 12) (2^x cosx(-x³))

13) ( 6^x log₆₇x(-x⁶⁶)) 14) ( 9^x log₅₅x(-x⁷⁷)) 15) (757^xlog₄₄x(-x⁸⁸))

16) (xsinx) 17) (xshx) 18) (xthx³)

19) (tgxthx) 20) (lnxchx) 21) (sinx arccos2x)

22) (e^2xarctgxchx) 23) (a^xx^b) 24) (arcctgxlog₃₂x³)

25) (x³tgxsin3x) 26) (23^xln(x²+3x+2)) 27) (shx(ax+b))

28) (tgxarcctg24x) 29) (sin12x⁵chx⁷) 30) (e^xx^aln(bx)⁴)

4.Производная сложной функции

Пример 4.1. y = log₃(arcsinx)

► Пользуясь правилом нахождения производной от сложной функции и полагая f=log₃(g), g=arcsinx, найдем f`(g) и g`(x).

f`(g) = log<sub>3</sub>e/g, g`(x)= , (f(g(x)))`=f`(g)g`(x) 

◄

Пример 4.2.

► Поступаем, аналогично предыдущему примеру

.◄

1) (a^cos(tg(x))) 2) (3^sin(ctg(x))) 3) (4^tg(sin(x)))

4) (3^(tg(cos(x))) 5) (7^{cos(3tg(4x)))} 6) (6^{arctg(3cos(4x)))}

7) (9^{cos(3arctg(6x)))} 8) (10^ln(tg(3x))) 9) (11^{ctg(3tg(7x)))}

10) (6^sin(tg(x))) 11) (4^{cosec(7tg(5x)))} 12) (55^{cos(arctg(x)))}

13) (3^(arcsin(x))) 14) (2^{cos(6arcctg(4x)))} 15) (5^{sec(5tg(8x)))}

¹⁶) ln 17) (ln(ln(ln(2x+1)))) 18) (sin(arcctg(sh3x)))

19) (th(ctgx)) 20) (ln(arccose^x)) 21) (sin(shx))

22) (sin(chx²)) 23) (log₃₅(3^thx)) 24) (cosec(th(arcsin7^x)))

25) 26) 27) (sh(ch(e^20x)))

28) (7^ln(ln(x))) 29) (th(arctg(lnx))) 30) (x^xlnx)

5. Производная обратной функции

Пример 5.1. y = x + x³.

► y` = = 1+3x²  .◄

Пример 5.2. Найти y`(x), если x = sh(y)

► Функция x = sh(y) непрерывна и строго монотонна при всех yR. Производная x` = ch(y) не обращается в нуль ни в одной точке. Следовательно,

y`(x) = 1/x`(y) = 1/ch(y) =

Функция y(x), т. е. функция, обратная для гиперболического синуса, обозначается arshx. Таким образом,

(arshx)`= , xR. ◄

1) (ln4x arcctg(2x) arcsin(2x)) 2) (ln4x arctg(3x) arccos(2x))

3) (ln4x arcsin(4x) arctg(2x)) 4) (log₂x arctg(35x) arccos(5x))

5) (log₆x arctg(66x) arcsin(7x)) 6) (log₇x arccos(12x) arctg(9x))

7) (log₉x arctg(34x) arccos(12x)) 8) (log₄x arcsin(7x) arcctg(13x))

9) (log₈x arctg(93x) arcsin(13x)) 10) (log₁₂xarccos(8x) arcctg(6x))

11) (log₁₁x arcsin(88x) arctg(22x)) 12) (log₅₅xarcctg(5x) arccos(2x))

13) (log₃₄x arcsin(22x) arcsin(23x)) 14) (log₂₂xarctg(3x) arcctg(4x))

15) (log₁₂x arccos(11x) arccos(9x)) 16) (2e^-x-e^-2x)

17) (2x²-x⁴) 18) (15log₂₃x²arctg(72x))

19) (798ln(arcctgx³)) 20) (35sh(arcsinx)arccosx)

21) (78xarccos2x) 22) (3cos5xsin4x)

23) (74earctgx⁹) 24) (7e2^3xthx)

25) (18cos(sinx)) 26) (2chx arctgx)

27) (76shx arcctgx) 28) (93log₂₈35x¹²sinx)

29) (32arctg3x th7x) 30) (54sinx arctgx shx)