4.18.3. Критические напряжения. Пределы применимости формулы Эйлера

При осевом нагружении стержня критической силой в его поперечных сечениях возникают нормальные напряжения сжатия, называемые критическими

,

где i_min – минимальный радиус инерции сечения, .

Безразмерная величина называется гибкостью стержня. Она характеризует сопротивляемость стержня потере устойчивости; с увеличением гибкости уменьшается сопротивляемость стержня. После подстановки λ в последнюю формулу она принимает вид .

Эта формула была выведена в предположении, что при сжатии возникают только упругие деформации. Следовательно, она справедлива при условии , где – предел пропорциональности напряжение-деформация материала стержня (см. диаграмма растяжения). Отсюда .

Стоящая в правой части неравенства постоянная для данного материала безразмерная величина называется предельной гибкостью

Таким образом, формула Эйлера применяется при условии .

4.18.4. Расчет на устойчивость стержней с гибкостью, меньше предельной

График зависимости σ_кр. от λ для стержней из пластичных материалов представлен на рис.4.48. В соответствии с данным графиком стержни условно делятся на три группы. Стержни большой гибкости , для которых критическое напряжение определяется по формуле Эйлера. Стержни средней гибкости , для которых критическое напряжение определяется по формуле Ясинского

,

г де a и b – экспериментальные коэффициенты.

Стержни малой гибкости , для которых соответствует , т.е. для пластичных материалов и для хрупких материалов. Такие стержни разрушаются от потери прочности. Поэтому их рассчитывают не на устойчивость, а на прочность при сжатии.

Значения коэффициентов a, b и гибкостей λ₀, λ_пред приводятся в справочной литературе.

В практике расчета строительных конструкций очень часто проводят подбор сечений сжатых стержней именно из условия устойчивости. При этом используется формула , где – допустимые напряжения на сжатие; – коэффициент, зависящий от материала и гибкости стержня (берется из таблиц). Из последней формулы (1.18) имеем

.

Коэффициентом задаются в первом приближении (обычно = 0,5), определяют А, выбирают профиль. Затем определяют гибкость λ, уточняют φ и снова находят А. Расчеты продолжают до получения оптимального соотношения устойчивости и прочности (обычно это 2 или 3 итерации).

Пример

В качестве примера проверим на устойчивость подкос (рис.4.15).

Дано:

F = Ν = 3510 Н; Е = 8*10⁴ МПа; l = b/Cos(35^о) = 0,8/0,82 = 0,97 м;

А = 48 мм², соответственно d = 8 мм; [σ] = 74 МПа, μ = 1.

Решение:

Определим критическую силу

.

Видим, что стержень диаметром 8 мм не выдерживает на устойчивость.

Возьмем обыкновенную водопроводную трубу 21,3х2,8 (труба с условным проходом 15мм). Площадь сечения трубы 162 мм² > А = 48 мм².

.

.

Коэффициент запаса устойчивости .

Труба проходит по всем параметрам.

Вывод: при создании реальных конструкций не всегда достаточно расчета отдельных элементов по одному из видов деформаций, необходим всесторонний анализ конструкции и проверочный или проектировочный расчет по всем возможным видам деформаций, если результат не очевиден.