4.15.1. Статические моменты инерции

Статические моменты инерции позволяют определить координаты центра тяжести сечения.

Рассмотрим изменение статических моментов инерции при параллельном переносе осей координат (рис.4.25). Считая известными А, S_x и S_y в системе координат x0y,определим статические моменты S_x1 и S_y1 относительно новых осей x₁ и y₁. Учитывая, что x₁=x - x_c, y₁=y - y_c, где x_c и y_c – координаты центра тяжести сечения, получим

и

.

Приравнивая S_x1 и S_y2 нулю, получим

, .

Оси, относительно которых статические моменты инерции равны нулю, называются центральными. Точка пересечения центральных осей называется центром тяжести сечения.

Для определения центра тяжести сложного сечения применяется следующая процедура:

- сечение разбивается на N элементов, положение центров (С_i) тяжести которых известны;

- задается вспомогательная система координат, в которой определяются координаты центров тяжести (x_ci, y_ci) этих элементов;

- вычисляются координаты центра тяжести сложного сечения по формулам

и .

4.15.2. Моменты инерции площади сечения

В таблице 4.2 приведены часто используемые формулы для моментов инерции сечений простой формы, полученные непосредственно интегрированием (для прямоугольника приведена формула и момента инерции сечения при кручении).

В соответствии с рис.4.25. можно показать, что

, т.е. полярный момент инерции равен сумме осевых моментов инерции.

В круглом сечении (рис.4.26,а) выделим некоторую область толщиной dρ на расстоянии ρ от центра. Площадь этой области . Полярный момент инерции для этого сечения запишется в виде

или

, .

Таблица 4.2.

Вид сечения	Jx	Jy	Jρ(Jк)
		___	___

В прямоугольном сечении (рис.4.26,б) выделим некоторую область толщиной dy на расстоянии y от оси x. Площадь этой области . Моменты инерции площади сечения относительно осей х и y будут иметь вид

и .

Составное сечение (рис.4.26,в)

Момент инерции составного сечения относительно выбранной оси равен сумме моментов инерции отдельных элементов сечения относительно собственных центральных осей, плюс сумма произведений площадей элементов на квадраты расстояний от выбранной оси до собственных осей элементов.

Для сечения (рис.7.6, в) получим

или

.

Аналогично

.

При параллельном переносе осей координат (x₁=x - a, y₁=y - b) моменты инерции площадей сечений относительно новых осей определяются в виде

,

,

.

Если оси x и y – центральные, то S_x=0 и S_y=0, и тогда формулы упрощаются

, и .

Последние формулы показывают, что при переходе от центральных осей к произвольным осевой момент инерции площади сечения увеличивается.

При повороте осей, учитывая, что

, моменты инерции изменяются следующим образом

,

,

.

Складывая первые две формулы, получим

, т.е. при повороте осей сумма осевых моментов инерции не изменяется и равна полярному моменту инерции.

Найдем положение осей, при которых осевые моменты инерции принимают экстремальные значения. Для этого используем условие .

После преобразований получим . Такой же результат получим из третьей формулы при .

Оси, относительно которых моменты инерции принимают экстремальные значения (один – max, другой - min), а центробежный момент инерции равен нулю, называются главными осями инерции, а моменты инерции относительно этих осей - главными моментами инерции.