5.5.2. Метод оптимальных диаметров

При постановке и решении любой оптимизационной задачи требуется четко выделить критерий (критерий оптимальности), определив при этом целевую функцию. [8]

В рассматриваемом случае в качестве критерия оптимальности выбраны минимальные затраты на строительство тупиковой газораспределительной сети ( стоимость труб и работ по строительству). Следовательно, целевая функция Ф будет выражать зависимость стоимости строительства S_i(D_i) от выбранных диаметров каждого из N участков сети.

При этом, независимо от выбранного диаметра на i-ом участке сети, суммарный перепад давления от начальной точки сети до конечной точки каждого из ответвлений должен быть постоянным.

Для сети низкого давления это условие будет имеет вид

Для сети высокого и среднего давления

В результате мы должны получить оптимальное распределение заданного перепады давления между участками сети.

Рассмотрим исходные предпосылки и допущения, принятые при разработке метода.

Затраты на строительство

Анализ стоимостных показателей газораспределительных сетей показывает, что удельная стоимость строительства распределительного газопровода S_y (руб./м) может быть с достаточной степенью точности описана соотношением

(5.25)

где коэффициенты a и b будут зависеть от способа прокладки, материала труб, условий строительства (местности) и других показателей, не зависящих от диаметра газопровода.

Следовательно, целевая функция запишется как

Перепад давления (потери на трение)

Анализ формул для расчеты перепадов давлений Н для газопроводов высокого, среднего и низкого давлений, показывает их общую структура:

(5.26)

где коэффициенты К₁, α и β зависят от давления (высокое, среднее или низкое) на рассматриваемом участке.

Тогда условие постоянства общего перепада давления в сети запишется как

где N- число участков сети на рассматриваемом направлении.

Условия минимум целевом функции и постоянства перепада давления будут иметь вид:

Исходя из конфигурации разветвленной газораспределительной сети, можно рассматривать два случая соединения участков:

- последовательное соединение участков;

- разветвление.

Последовательное соединение участков сети

Для простоты рассматриваемом схему последовательного соединения двух участков (рис. 5.4)

Запишем потери давления для участков сети в виде (5.27):

Рис. 5.4. Последовательное соединение двух участков газопровода

Суммарные потери составят

(5.28)

откуда

(5.29)

Целевая функция для рассматриваемого случая запишется как

Подставим последнее выражение в соотношение (5.29) и при условии К₁·β≠0 получим

Учитывая, что L₁·dD₁≠0, можно получить

(5.30)

или

(5.31)

или

(5.32)

Выражение (5.27) можно представить в виде:

откуда

(5.33)

С учетом (5.34) из соотношения (5.30) имеем

(5.34)

а из (5.33)

(5.35)

Из соотношений (5.34) и (5.35) получим

или

(5.36)

Введем обозначение

(5.37)

и назовем эту величину характеристикой участка сети.

Тогда соотношение (5.36) запишется так

(5.37)

Суммарные потери давления в сети

(5.38)

А=a₁+a₂- характеристика сети, состоящей из двух последовательно соединенных участков.

Из соотношения (5.38) при заданном расчетном перепаде давления в сети Н и вычисленных значениях характеристик участков а_i и суммарной характеристики сети А легко получается распределение заданного перепада давления между последовательно соединенными участками

При известных значениях длины участка и расчетного расхода это позволяет однозначно определить диаметры участков.

Простое разветвление участков сети

Рассмотрим случай простого разветвления участков сети, состоящей из трех участков (ствола и двух ветвей) рис. 5.5

Целевая функция запишется в виде

откуда

(5.39)

Потери давления на трение

Рис. 5.5. Расчетная схема для простого разветвления

С учетом уравнения для потерь давления можно записать

Тогда

откуда

(5.40)

откуда

(5.41)

Подставив значения (5.40) и (5.41) в уравнение (5.42), получим

(5.42)

Так как L₁·dD₁≠0, то из (5.42) можно получить

(5.43)

Выполним некоторые промежуточные преобразования: из (5.27) имеем

тогда

С учетом (5.37) можно записать для i-го участка

(5.44)

где К₀=К₁^β+1/β

Подставив значения (5.38) в (5.39), получим

(5.45)

Обозначим (β+1)/β=γ. Учитывая, что Н₂=Н₃, из (5.43) получим

(5.46)

где А=а₁+(а₂^γ+ а₃^γ)^1/γ- характеристика рассмотренной сети.

Значения коэффициентов α,β,γ представлены в табл. 5.11

Таблица 5.11

Значения коэффициентов при расчете оптимальных диаметров тупиковой газораспределительной сети

Коэффициенты	Сети высокого и среднего давления	Сети низкого давления
α	2	1,75
β	5,25	4,75
α/(β+1)	0,32	0,30
γ=(β+1)/β	1,19	1,21
1/γ	0,84	0,83