ТЕОРИЯ СИСТЕМ и СИСТЕМНЫЙ АНАЛИЗ

коллективов по информированности на основе балльных оценок позволяет расположить их в порядке возрастания информированности.

Формально шкалу можно задать в виде [37]

< X, φ, Y >,

где X {x1, , xn , Rx} – реальная эмпирическая система, включающая множество свойств xi , на которых в соответствии с целями измерения задано некоторое отношение Rx ; Y { (x1), , (xn ), Ry } – знаковая систе-

ма, включающая значения измеряемых свойств φ(xi) с соответствующим отношением Ry ; – гомоморфное отображение X на Y, устанавли-

вающее соответствие между X и Y так, что { (x1), , (xn )} Ry только

тогда, когда {x1, , xn} Rx .

Имеется несколько основных типов шкал: наименований (номинальные), порядка, интервальные, отношений, абсолютные. Тип шкалы определяется по множеству допустимых преобразований со шкальными значениями, исходя из целей измерения. Например, если требуется просто классифицировать людей по возрасту («молодой», «среднего возраста», «пожилой»), то используется шкала наименований, если необходимо расположить людей в порядке возрастания возраста, можно использовать шкалу порядка (каждому присваивается место), если же нужно установить, насколько и во сколько раз один человек старше другого, можно воспользоваться шкалой отношений.

Шкала наименований (номинальная). Это наиболее слабая, каче-

ственная шкала, соответствующая простейшему виду измерений, при котором каждому объекту сопоставляется наименование. Это не обязательно уникальное имя конкретного объекта, оно может являться именем целого класса объектов.

Примерами измерений по номинальной шкале являются названия городов, имена людей, автомобильные номера, номера официальных документов, телефонные коды городов, номера авиарейсов, названия болезней и т. п. Эти измерения позволяют выявить сходства и различия между объектами. Таким образом, основным свойством номинальных шкал является сохранение неизменным отношений эквивалентности (по измеряемому признаку) элементов эмпирической системы.

Шкальными значениями служат наименования классов эквивалентности. В качестве наименований могут использоваться слова естественного языка, числа, произвольные символы. Измерение в номинальной шкале состоит в определении принадлежности объекта тому или иному классу эквивалентности. На рис. 2.8 приведено измерение возраста людей, обо-

61

значенных через хi, в номинальной шкале, включающей наименования «молодой», «среднего возраста», «пожилой». Каждому элементу эмпирической системы (объекту хi) ставится в соответствие определенный элемент знаковой системы (xi ) .

Если в качестве шкальных значений используются символы 1, 2, 3, … n, их все равно следует воспринимать не как числа, а как наименования. Над ними нельзя выполнять какие-либо математические операции. Например, если одному спортсмену присвоен номер 2, а другому – 4 (соответствующие номера указаны на их майках), то это не значит, что один из них лучше другого в два раза.

Рис. 2.8. Измерение объектов в номинальной шкале

При обработке данных, зафиксированных по шкале наименований, можно выполнять только операцию проверки их совпадения или несовпадения. Для этого используется символ Кронекера:

ij {1: (xi ) (x j ); 0 : (xi ) (x j )}.

С результатами этой операции можно выполнять более сложные преобразования: считать количество совпадений, вычислять относительные частоты классов, сравнивать эти частоты между собой (находя, например, моду – номер наиболее часто встречающегося класса), выполнять различные статистические процедуры и т. д. [2]. Например, для системы, приведенной на рис. 2.8, можно вычислить частоты классов по формуле:

n

pk ( kj ) / n (n – общее число наблюдений). Для классов «молодой» и

j 1

«пожилой» частота будет составлять 2/8, для класса «среднего возраста» –

4/8.

Шкала порядка (ранговая). Эта шкала, следующая по силе за номинальной, используется для упорядочения объектов по измеряемым свойствам. Она позволяет расположить объекты в определенной последовательности, например, в соответствии с возрастанием или убыванием ка- кого-либо качества.

Примерами применения ранговой шкалы являются призовые места в конкурсах или соревнованиях, нумерация очередности, номера классов

62

средней школы или курсов высших учебных заведений (1-й, 2-й и т. д.), сила землетрясения по шкале Рихтера, сортность товаров и т. п.

Шкалы порядка кроме отношений эквивалентности сохраняют отношения предпочтения (обозначаемое через ) на множестве элементов эмпирической системы, удовлетворяющие аксиомам упорядоченности:

если x1 x2 , то либо x1 x2 , либо x2 x1 ; если x1 x2 и x2 x3 , то x1 x3.

Между шкальными значениями, сопоставленными элементам эмпирической системы, должны выполняться те же отношения порядка, т. е. если x1 x2 , то (x1) (x2 ) . Чаще всего в качестве шкальных значений

используются числа натурального ряда, означающие номер объекта в упорядоченном ряду. Этот номер называется рангом.

На рис. 2.9 изображено измерение в ранговой шкале элементов xi (i 1,8) эмпирической системы, упорядочение которых имеет следую-

щий вид: x3 x5 x6 x1 x2 x8 x4 x7 .

Рис. 2.9. Измерение объектов в ранговой шкале

Иногда оказывается, что не каждую пару объектов можно упорядочить по предпочтению: некоторые объекты считаются равными. В таком случае используют шкалу квазипорядка. При этом равные объекты могут иметь одинаковый ранг или им присваиваются ранги от младшего до старшего случайным образом.

Важно отметить, что ранги нельзя рассматривать как числа. Нельзя утверждать, что спортсмен, занявший в соревнованиях по бегу четвертое место, пробежал дистанцию в четыре раза быстрее, чем спортсмен, занявший первое место. Судя по рангам, ничего нельзя сказать о расстояниях между сравниваемыми объектами. Поэтому над шкальными значениями в ранговой шкале нельзя производить арифметические операции и вообще любые действия, результат которых изменится при преобразованиях шкалы, не нарушающих порядка.

К допустимым операциям, кроме нахождения частот и мод (как и для номинальной шкалы), относятся: определение медианы (объекта с рангом, ближайшим к числу n/2); разбиение всей выборки на части в любой про-

63

порции; нахождение коэффициентов ранговой корреляции между двумя сериями порядковых наблюдений и некоторые другие [2].

Шкала интервалов. Данный вид шкал используется в случаях, когда упорядочение объектов можно выполнить настолько точно, что известны расстояния между любыми двумя из них. Все расстояния выражаются в некоторых единицах, одинаковых по всей длине шкалы. Объективно равные интервалы измеряются одинаковыми по длине отрезками шкалы. Таким образом, в шкале интервалов можно ввести систему координат: одна из точек играет роль начала координат, а расстояние между ней и некоторой другой точкой – роль единичного интервала.

В шкале интервалов измеряются величины, которые по физической природе не имеют абсолютного нуля либо допускают свободу выбора в установлении начала отсчета. Примерами таких величин являются температура, время, высота местности.

Можно ввести несколько интервальных шкал для измерения одного и того же свойства элементов эмпирической системы. Например, для измерения температуры используются разные шкалы (шкала Цельсия, шкала Фаренгейта), системы летоисчисления также могут отличаться (у христиан оно ведется от рождества Христова, у мусульман – от переезда Мухаммеда в Медину). Но независимо от того, какое значение принято за начало отсчета и какова единица длины в каждой из шкал, отношения двух интервалов должны быть одинаковыми для всех шкал, т. е.

Это значит, что если расстояние между x1 и x2 (ρ(x1, x2)) в К раз больше расстояния между x3 и x4, (ρ(x3, x4)), то в любой эквивалентной шкале это соотношение сохранится. На рис. 2.10 приведен пример измерений на двух эквивалентных интервальных шкалах.

Рис. 2.10. Измерение объектов в интервальных шкалах

64

Таким образом, шкала интервалов единственна с точностью до ли-

нейных преобразований вида

(x) a (x) b.

Например, для перехода от шкалы Цельсия к шкале Фаренгейта используется преобразование: t F 1,8 t C 32 .

В шкале интервалов только интервалы имеют смысл настоящих чисел, и только над интервалами следует выполнять арифметические операции. Например, нельзя сказать, что температура воды увеличилась в два

раза при ее нагреве от 9 C до 18 C , т. к. по шкале Фаренгейта температура изменится от 48, 2 до 64,4 [2]. Над интервалами же можно выполнять любые арифметические операции.

Шкала отношений. Это еще более сильная шкала. Она позволяет оценить, во сколько раз свойство одного объекта превосходит то же свойство другого объекта. Величины, измеряемые в шкале отношений, имеют естественный абсолютный нуль, хотя остается свобода в выборе единиц.

Примерами таких величин являются вес и длина объектов. Вес можно измерять в килограммах, в фунтах, в пудах. Длину можно измерять в метрах, в аршинах, в ярдах. Но при этом если в одной системе единиц вес (или длина) объекта x1 в К раз больше, чем вес (длина) объекта x2, то и в другой эквивалентной системе измерений то же отношение весов (длин) сохраняется.

Таким образом, основным свойством шкал отношений является сохранение отношения двух шкальных значений при переходе от одной шкалы к другой:

(x1) '(x1) .(x2 ) '(x2 )

Отсюда следует, что шкала отношений единственна с точностью до

линейных преобразований вида

(x) a (x) .

Эта формула выводится из формулы связи между разными системами координат, введенной для интервальных шкал, при условии, что точка отсчета фиксирована и сдвиг равен нулю (b = 0). Нефиксированным остается масштаб измерений (а ≠ 0), т. е. переход от одной шкалы к другой осуществляется с помощью преобразований подобия (растяжения). На рис. 2.11 приведен пример измерений на двух эквивалентных шкалах отношений.

65

Рис. 2.11. Измерение объектов в шкалах отношений

Значения, измеренные в шкале отношений, являются «полноправными» числами, с ними можно выполнять любые арифметические действия.

Абсолютная шкала. Эта шкала имеет не только абсолютный нуль, как шкала отношений, но и абсолютную единицу. Это уникальная шкала, т. е. других, эквивалентных ей шкал не существует (существует только одно отображение эмпирических объектов в знаковую систему). Примером абсолютной шкалы является числовая ось. Важной особенностью такой шкалы является отвлеченность (безразмерность) и абсолютность ее единицы. Над показаниями абсолютной шкалы можно не только производить все арифметические операции, но и использовать эти показания в качестве показателей степени и аргумента логарифма.

Выбор шкалы. Выбор, к какому типу должна относиться шкала, используемая для измерения объектов, в первую очередь зависит от определяющего отношения. Так, шкала наименований используется в случае, если определяющим является отношение эквивалентности, удовлетворяю-

щее аксиомам тождества:

1.А = А (рефлексивность).

2.Если А= В, то В = А (симметричность).

3.Если А= В и В = С, то А = С (транзитивность).

Ранговая шкала используется, если определяющее отношение удов-

летворяет аксиомам упорядоченности:

4.Если А ≠ В, то либо А > В, либо В > А (антисимметричность).

5.Если А >В и В > С, то А > С (транзитивность).

Шкала интервалов применяется не только при выполнении аксиом упорядоченности, но и в случае, если известны расстояния между объектами, причем расстояния измеряются в единицах, одинаковых по всей длине шкалы.

Использование шкалы отношений допустимо, только если в дополнение к аксиомам упорядоченности выполняются и аксиомы аддитивно-

сти:

66

6.Если А = Р и В > 0, то А + В > Р.

7.А + В = В + А.

8.Если А = Р и В = Q, то А + В = Р + Q.

9.(А + В)+ С= А + (В + С).

Для того чтобы можно было использовать абсолютную шкалу, помимо выполнения аксиом (4) – (9) необходимо наличие абсолютного нуля и абсолютной единицы.

Основные сведения обо всех рассмотренных шкалах приведены в табл. 2.3 [2].

Кроме приведенных в таблице основных типов шкал существуют и другие, такие, например, как шкала разностей (циклическая), степенная, логарифмическая и др.

2.3.2. Методы измерений/оценки в условиях определенности

Виды измерений. Измерения необходимы при решении задач оценивания и выбора, таких как определение уровня развития системы по сравнению с аналогами, анализ динамики изменения состояний системы, выбор оптимального варианта реализации проектируемой системы, выбор оптимальной стратегии развития и т. д. В данном разделе будут рассмотрены методы измерения свойств системы и их использования для оценивания систем и принятия решений в условиях отсутствия статистической неопределенности (система не подвержена воздействию случайных событий) и отсутствия нечеткости, расплывчатости (мнения экспертов о свойствах системы считаются четкими и достоверными).

Измерения могут быть объективными или субъективными. Объек-

тивные измерения производятся измерительными приборами5: например, измерение времени с помощью часов, массы с помощью весов, температуры с помощью термометра. Субъективные измерения – это результат мыслительной деятельности человека, играющего в данном случае роль измерительного прибора. Субъективное измерение, как правило, производится экспертом (группой экспертов) или ЛПР – лицом, принимающим решения. Сравнивая объекты измерения между собой или с эталоном, эксперт выносит суждения, например, об их предпочтительности, о степени соответствия требованиям, об уровне их эффективности и т. д.

Чаще всего целью субъективных измерений является оценивание системы по тому или иному качественному признаку. Например, предприятие может оцениваться по качеству продукции, комфортности условий труда, уровню централизации управления и т. д. Результатом оценивания является оценка – число, отражающее меру (интенсивность) выраженности качественного свойства или приоритет объекта среди множества других по данному свойству.

Поскольку объекты могут быть измерены с помощью субъективных и объективных измерений по множеству различных признаков, как качественных, так и количественных, для удобства сравнения объектов друг с другом необходима обобщенная или интегральная оценка. В самом деле,

5 Нужно сказать, что объективные измерения иногда могут выполняться человеком без применения приборов (например, подсчет количества чего-либо), но поскольку их результат не связан с субъективным мнением человека, то они считаются объективными.

68

зачастую по одному признаку наилучшим является один объект, по другому – другой. Например, один вариант реализации бизнес-процесса может быть лучше другого по критерию стоимости, но хуже по средней продолжительности или по качеству. Таким образом, возникает проблема сведения значений частных критериев оценивания, измеряемых в различных шкалах, к значению интегрального критерия. В случае если удается нормализовать значения частных критериев, т. е. привести их к значениям, измеряемым в одной шкале, используются методы интеграции

(свертки).

Оценивание играет важную роль при решении задач выбора, т. к. позволяет выявить предпочтения на множестве альтернативных вариантов (например: вариантов реализации системы, вариантов развития системы, вариантов управления). Варианты оцениваются по одному или множеству признаков, выступающих в роли критериев выбора, и осуществляется выбор наиболее предпочтительных.

В рамках теории принятия решений разработано множество методов количественного и качественного оценивания и выбора, основанных на объективном и субъективном измерениях: методы теории полезности, методы векторной оптимизации, методы экспертных оценок, эвристические процедуры принятия решений и др. Рассмотрим две группы методов экспертных оценок – методы выявления предпочтений экспертов и методы интеграции измерений.

Методы выявления предпочтений экспертов. По сути, это методы субъективного измерения (оценивания) по одному признаку. Имеется конечное число объектов X {x1, xn}, оцениваемых экспертами по неко-

торому признаку q. Необходимо получить экспертные оценки q(x1), q(xn ) объектов, представляющие собой в зависимости от исполь-

зуемого вида шкалы либо ранги ri , i 1, n , либо числовые значения (баллы, действительные числа) ai , i 1, n .

Ранжирование. Представляет собой процедуру упорядочения объектов, выполняемую экспертом. На основе знаний и опыта эксперт располагает объекты в порядке предпочтения. Ранги присваиваются в порядке увеличения или убывания предпочтения. Если упорядочение образует нестрогий линейный порядок, то для эквивалентных объектов удобно с точки зрения технологии последующей обработки экспертных оценок назначать одинаковые ранги, равные среднеарифметическому значению присваиваемых им рангов. Такие ранги называют связанными [37, 38]. Например, пусть упорядочение объектов имеет следующий вид:

69

x1 x2 x3 x4 x5 x6 . Тогда для объектов x3, x4, x5 связанные ранги r3

= r4 = r5 =(3 + 4 + 5) / 3 = 4.

При групповом ранжировании каждый j-й эксперт присваивает каждому i-му объекту ранг rij. В результате проведения экспертизы получает-

ся матрица рангов rij .

Для агрегирования мнений нескольких экспертов чаще всего используется метод суммы мест. Для каждого объекта ранги, присвоенные экспертами, суммируются. Обобщенные ранги присваиваются в соответствии с увеличением (убыванием) сумм рангов. В табл. 2.4 приведен пример результатов ранжирования семи объектов тремя экспертами и обобщенные ранги, полученные методом суммы мест. Необходимо подчеркнуть, что данный метод допустимо использовать только когда предполагается, что «расстояние» между рангами приблизительно одинаковы, т. е. когда ранги, по сути, являются баллами, а шкала в строгом смысле не является порядковой и может быть отнесена к интервальной.

Таблица 2.4

Для оценки согласованности мнений экспертов используется дисперсионный коэффициент конкордации. При наличии связанных рангов используется формула [38]:

число групп равных рангов в s-й ранжировке; hk – число равных рангов в k-й группе связанных рангов. Если совпадающих рангов нет, то Ts = 0.

70