1. Кодирование чисел

1.1. Двоичная система счисления

Двоичная система счисления подразумевает, что все числа состоят из двух возможных цифр: «1» и «0». В целом принцип счета остается прежним, для позиционных систем счисления. Дробное число в десятичной системе является дробями «десяти», а в двоичной соответственно дробями «двойки». Пример счета приведен ниже в таблице 1.1:

Таблица 1.1

Примеры двоичных чисел

целые числа		дробные числа
двоичная система	десятичная система	двоичная система	десятичная система
0	0	0,001	0,125
1	1	0,010	0,250
10	2	0,011	0,370
11	3	0,100	0,500
100	4	0,101	0,625
101	5	0,110	0,750
110	6	0,111	0,875
111	7	1,000	1,000
1000	8

Существует правила пересчета двоичных чисел в десятичные и наоборот. Целые и дробные числа преобразуются по-разному.

Преобразование целых чисел

Рассмотрим преобразование целого числа 100 из десятичной системы в двоичную. Для пояснения - каждое число будет иметь индекс, поясняющий, в какой системе находится число. Целые числа переводятся последовательным делением на основание счета, в данном случае на «2». Число делится нацело с вычислением остатка (см. рис. 1). Полученное частное повторно делится на «2» и так далее до тех пор, пока в последнее частное не станет меньше основания счета, т.е. «2» (рис. 1.1).

100		2
100		50		2
0		50		25		2
		0		24		12		2
				1		12		6		2
						0		6		3		2
								0		2		1
										1

Рис 1.1. Перевод целого числа из десятичной системы в двоичную

Полученные остатки и есть наши искомые разряды. Записываем «1», а затем наши остатки, начиная с последнего получившегося. В итоге имеем: 100₁₀ → 1100100₂

Обратный расчет двоичного числа в десятичное осуществляется исходя из развернутой формы числа. Проведем обратное преобразование полученного выше числа в десятичную форму. Пронумеруем разряды числа, начиная с младшего:

6	5	4	3	2	1	0
1	1	0	0	1	0	0

Далее умножим разряд на основание счета в степени его порядкового номера и просуммируем результат:

1·2⁶ + 1·2⁵ + 0·2⁴ + 0·2³ + 1·2² + 0·2¹ + 0·2⁰ = 64 + 32 + 4 = 100₁₀

Как мы можем увидеть, пересчет целых чисел между двоичной и десятичной систем происходит абсолютно точно. Поэтому применение целых чисел в программировании предпочтительно.