1.5. Случайный процесс с равномерным распределением.

Случайный процесс с равномерным распределением генерируется функцией

(12)

где - нижняя и верхняя границы равномерной плотности вероятности.

Учтем, что теоретическое значение дисперсии процесса с равномерным распределением равно

(13)

Чтобы дисперсии процессов с нормальным и равномерным распределениями были одинаковыми и равными единице, а математическое ожидание было равно нулю, необходимо

Тогда команда для вычисления равномерно распределенного случайного процесса имеет вид

(14)

Значения такого процесса будут также некореллированы. Процесс имеет название белого шума.

Производим для белого шума такие же операции что и для гауссового шума (см. 5-11), в результате которых необходимо показать:

- гистограмма имеет вид равномерного распределения,

- матожидание примерно нулевое,

- дисперсия примерно единичная,

- спектральная плотность примерно постоянная.

1.6. Характеристики фильтрованного белого шума.

Пропустим белый шум (14) через дискретный фильтр с передаточной функцией

(15)

Коэффициенты фильтра выбраны так, чтобы фильтр обладал астатизмом нулевого порядка (отрабатывал постоянное возмущение без ошибки). Для этого достаточно, чтобы суммы коэффициентов числителя и знаменателя передаточной функции были равными.

(16)

Видно, что фильтрованный сигнал стал плавным, в нем отфильтрованы высокие частоты и вырос разброс сигнала.

Проводим для фильтрованного сигнала операции по определению его статистических характеристик, такие же как и для исходного белого шума .

Видно, что гистограмма фильтрованного сигнала изменилась. Равномерное распределение стало приближаться к нормальному распределению. Это закономерно для линейных динамических систем. По окончании переходных процессов изменения плотностей вероятности любые законы распределения плотностей вероятности приближаются к нормальному. Это правило будет учтено при расчете ошибок квантованных фильтров.

Уменьшается дисперсия фильтрованного процесса, так высокочастотная часть сигнала задержана фильтром. В связи с изменением плотности вероятности почти в три раза увеличивается стандарт и в девять раз – дисперсия.

Задержана фильтром высокочастотная часть спектральной плотности. Постройте спектральную плотность в виде ЛАХ и попробуйте показать, что выполняется правило

(17)

2. Случайные процессы и их характеристики в приложении simulink

На рис. 1 приведена иллюстративная схема генерирования случайного процесса и определения его характеристик в приложении SIMULINK. В качестве генератора гауссового шума используется блок Random Namber из раздела библиотеки Simulink/Source с настройками: mean=0; variance=1; Sample time=1.

Параметры фильтра выбраны как в (16). Время моделирования равно 1000. Начните моделирование, просмотрите вид процесса с помощью блока Scope.

Принцип определения характеристик процесса показан на рис. 1, где блоки-переключатели Switch указывают блоки, используемые для обработки в каждом случае. В работе для определения каждой характеристики рекомендуем составлять отдельную схему.

Рис. 1. Иллюстративная схема определения статистических характеристик.

Для определения матожидания, стандарта, дисперсии и гистограммы блоки выбираются из раздела библиотеки Signal Processing Blockset/Statistics. Особенность этих элементов в том, что они обрабатывают информацию не по мере поступления, а кусками-блоками. Поэтому в схеме используется элемент Buffer из раздела Signal Processing Blockset/Signal Management/Buffers, где надо выбрать Output Buffer Size=1000 (обрабатываем в блоке все отсчеты). В качестве регистратора выбираем блок Display. Чтобы был учтён каждый отсчёт (т.е. не было прореживаний), следует выбрать формат Decimal, а значение decimation (прореживание) должно быть равно 1, т.е. будут отображаться все значения.

Так же блок Display используется при отображении:

- математического ожидания – блок Mean

- дисперсии – блок Variance, в этом случае нужно установить флаг «Running Variance»

Буфер нужен для работы элементов Mean, Histogram, Variance. Дело в том, что этим блокам для правильной работы требуются сразу все отсчёты профильтрованного сигнала.

На вход буфера поступает один отсчёт, а на выход – все, хранящиеся в нём. Размерность буфера задаётся параметром Output buffer size. Значение должно быть равно произведению значения Sample Time и времени моделирования. Рекомендуемое значение – порядка 1000 и более.

Некоторая особенность имеет место при определении гистограммы. Гистограмма при работе возвращает число вхождений отсчётов в каждый, заданный в параметрах интервал. Для отображения этих значений используется обычный регистратор Display (Simulink/Sinks/Display). В блоке Histogram на основе ранее найденного значения стандарта задается диапазон изменения процесса и число интервалов гистограммы Number bins. Чтобы гистограмма была нормирована, устанавливается флажок Normalize. Дисплей должен вывести значения уровней во всех интервалах гистограммы. Это выполняется следующим образом: по окончании расчета в углу блока появляется стрелка. Тогда за правый нижний угловой маркер надо растянуть блок вниз, чтобы появился весь набор данных.

Параметры блока «Histogram»:

• Нижняя граница гистограммы = -10 (lower limit of histogram)

• Верхняя граница гистограммы = 10 (upper limit of histogram)

• Число интервалов гистограммы = 11 (number of bins)

Для определения спектра применить блок FFT из раздела Signal Processing Blockset/Transform, для определения спектральной плотности – блок Periodogram из раздела Signal Processing Blockset/Estimation/Power Spectrum Estimation.

Для отображения спетра и спектральной плотности использовать блок Spectrum Scope из раздела SPB/SP Sinks, в свойствах которого установить флаг «Buffer input», тип окна – «Hamming». Диапазон шкалы «Axis» установить после пробного запуска, т.к. заранее сложно сказать какой формы будет спектральная плотность.

Подберите период регистратора