1.1 Частота, круговая частота, период

Понятия «частота дискретизации», «круговая частота дискретизации», «период дискретизации» (обычно говорят не период, а шаг) важно очень хорошо различать, иначе будут проблемы с построением графиков. Эти три понятия связаны следующей формулой:

fs = 1/ Ts = ws/(2*pi),

где

fs – частота дискретизации,

Ts – шаг дискретизации,

ws – круговая частота дискретизации.

При использовании понятий «частота» и «период» нужно отталкиваться от их определения, весьма интуитивного: частота – это сколько раз в одну секунду повторяется функция, а период – это минимальное время, через которое функция начинает повторяться.

Поскольку обычная частота измеряется в герцах, а 1 Гц = 1/секунда, то в случаях, когда мы взаимодействуем с реальным миром (а не проводим теоретические выкладки), нам удобней использовать обычную частоту.

Утверждение 1. Синус частоты |f| Гц выглядит так: sin (2 * pi * f * x). ■

Далее под частотой подразумевается только обычная частота, измеряемая в Гц.

1.2 Нюансы дискретизации. Теорема Котельникова

Допустим, есть некоторый процесс, происходящий непрерывно во времени (например, изменение погоды, движение спутника по орбите и т.д.). Мы хотим уметь делать с этим процессом следующие вещи: находить закономерности, присущие этому процессу; на основе этих закономерностей строить математическую модель процесса; на основе математической модели восстанавливать процесс (повторять его) и предсказывать «поведение» этого процесса при заданных начальных условиях.

Актуальность решения подобных задач очевидна: конкретно для приведенных примеров это позволит предсказывать погоду и рассчитывать траекторию спутника. Но как находить закономерности? Как описать и проанализировать процесс?

Для каждого процесса выделяют основные параметры (величины), которые его характеризуют в наибольшей степени. Так, смена погоды характеризуется изменением температуры, давления, скорости ветра, влажности; движение спутника характеризуется изменением его положения, скорости, ускорения, угловой ориентации. Зная эти величины, мы можем утверждать, что исходный процесс достаточно точно описан. Действительно, измерив лишь положение, скорость, ускорение и угловую ориентацию спутника, мы уже можем многое рассчитать, прикинуть и даже промоделировать. То же относится и к погоде (погода почти полностью характеризуется температурой, давлением, скоростью ветра, влажностью). Мы не можем учесть все величины и выбираем лишь наиболее значительные, которые и используем для описания и анализа процесса.

Далее возникает следующая проблема: процессы, происходящие в природе, непрерывны. Для анализа данных мы должны их где-то сохранить. Но мы не можем сохранить непрерывный во времени процесс, потому что для такого процесса нам нужно было бы измерить и где-то зафиксировать бесконечное количество значений. Эту проблему решает дискретизация во времени.

Допустим, мы зафиксировали некий непрерывный сигнал, делая замеры каждые Ts секунд. (T – традиционное обозначение периода, s от английского sample – «выборка»).

Для анализа и моделирования непрерывного сигнала нам нужно уметь его восстанавливать из полученных дискретных отсчетов. Основным вопросом дискретизации является следующий: возможно ли однозначно восстановить непрерывный сигнал из соответствующих дискретных отсчетов и что для этого нужно сделать?

Ответ на этот вопрос дает легендарная теорема отсчетов Котельникова-Найквиста.

Теорема Котельникова. Если мы будем производить дискретизацию какого-нибудь непрерывного сигнала с частотой fs, причем fs> 2*B, где B – это наивысшая частота в спектре непрерывного сигнала, то впоследствии мы сможем точно и однозначно восстановить исходный непрерывный сигнал, зная лишь дискретные отсчеты и частоту дискретизации fs. ■

Первая часть выделенного утверждения – это условие теоремы Котельникова. Невыполнение этого условия ведет к искажениям, которые мы рассмотрим в следующем пункте.

Замечание. Значение любой измеренной (зафиксированной) величины квантовано, конечно, не только по времени, но и по уровню. Но вопросом квантования по уровню в данной лабораторной мы заниматься не будем.■