Задание 3

Задайте частоты f1, f2 и fs ( fs > 2 * max (f1,f2) ). Создайте сигнал, равный сумме двух синусоид частот f1 и f2 и произведите дискретизацию этого сигнала с частотой fs.

Нужно в соответствии с заданными частотами f1, f2 и fs подобрать такое минимальное количество отсчетов N, чтобы пики на графике ДПФ, соответствующие f1 и f2, были хорошо различимы. При этом можете просматривать соответствующий график во временной области.

Шаблон, который полезен при выполнении задания, следующий:

diskr=sin([0:1/fs:N/fs]*2*pi*f1)+ sin([0:1/fs:N/fs]*2*pi*f2); (1)

plot ([0:N],diskr);

plot(abs(fft(diskr)));

В отчете должны быть графики, показывающие, как с увеличением N пики (отсчеты), соответствующие частотам f1 и f2, постепенно становятся всё более различимыми. На последнем графике, используя формулу из утверждения 3 раздела 1.5, докажите, что эти пики соответствуют именно тем синусоидам, которые были введены.

Примечание. Если вам кажется, что результаты ДПФ выглядят неточно, поменяйте N на число, являющееся целой степенью двойки (128, 256 и т.п.). Это связано с тем, что ДПФ вычисляется с помощью алгоритма Fast Fourier Transform – быстрого преобразования Фурье.

Задание 4

Задана синусоида частоты f и количество отсчетов N. Меняя частоту дискретизации fs, добейтесь того, чтобы дискретное преобразование Фурье показывало верный результат. Покажите, что при «пересечении» частоты 2*f результат меняется на прямо противоположный (если был правильный, то становится неправильным и наоборот)

В отчете должны быть два графика: один соответствует выполнению условия теоремы Котельникова, а другой – его невыполнению. Докажите эти факты для каждого из графиков. Покажите, что ДПФ для одной синусоиды, дискретизованной с разными частотами fs, дает разные результаты. Причем одно из ДПФ должно давать верные результаты, когда частота дискретизации fs удовлетворяет условиям теоремы Котельникова, а другое – неверные – для частоты fs, которая не удовлетворяет условиям теоремы Котельникова.

Содержание отчета

Выполненные задания с полученными графиками, пояснениями к графикам и поясняющим текстом, доказывающим правильность выполнения задания.

Контрольные вопросы

1 Почему в формуле утверждения 1 используется модуль? Какой физический смысл имеет отрицательная частота?

2 Объясните, как вы понимаете теорему Котельникова. Расскажите, как связаны спектры непрерывного сигнала и сигнала, полученного из этого непрерывного при дискретизации с частотой fs.

3* Докажите утверждение 2.

Литература

1. Цифровая обработка сигналов / А. Б. Сергиенко – СПб.: Питер. 2007

2. Солонина А.И. Цифровая обработка сигналов. Моделирование в MATLAB. /А.И. Солонина, С.М. Арбузов.- СПб.: БХВ – Петербург, 2008.

3. Дьяконов В. П. MATLAB 7: Учебный курс. – СПб.: Питер. 2005.

4. Лайонс Р. Цифровая обработка сигналов. – М.: ООО «Бином – Пресс», 2006.

Приложение 1. Полезные сведения о дискретизации, теореме Котельникова, быстром преобразовании Фурье

Цифровая обработка сигналов рассматривает методы преобразования сигналов, улучшения качества сигналов, добавления к сигналам необходимых свойств. Чтобы познакомиться с этими методами, необходимо овладеть некоторыми базовыми понятиями и навыками. В данной лабораторной работе вы получите необходимые сведения о практическом применении дискретного преобразования Фурье и теоремы Котельникова.