Практическая работа №4

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ДОПУСТИМОЙ И ПРЕДЕЛЬНОЙ

ПОГРЕШНОСТЕЙ

Цель работы:

1) научиться определять допустимую и предельную погрешности;

2) научиться использовать допустимую и предельную погрешности для решения задач

маркшейдерского дела.

Методические указания

Истинная погрешность измерения распределена по нормальному закону и теоретически может принимать очень большие значения , но с малой вероятностью. Поэтому принимая некоторое значение погрешности в качестве максимального для данных условий измерений, мы тем самым пренебрегаем малой вероятностью q, что истиная погрешность все же превысит это значение. Следовательно, максимальная погрешность определяется выбранным значением q.

Подход к выбору q может быть двояким в зависимости от типа решаемой задачи. Найденная при этом максимальная погрешность называется соответственно либо допустимой, либо предельной.

Допустимой для данных условий измерений называется такая погрешность, при превышении которой истинная погрешность считается грубой, а соответствующее измерение бракуется и проводится заново. В реальных условиях известными истинными погрешностями являются невязки. Поэтому допустимая погрешность используется обычно для контроля качества измерений по невязкам.

Значение допустимой погрешности любой величины в маркшейдерской практике принимается равным

D = 2m, (4.1)

а в геодезии

D =2.5m, (4.2)

где m- средняя квадратическая погрешность этой же величины.

Указанные величины Dдоп соответствуют значениям q , равным 0.046 и 0.013.

Предельной называют погрешность, которую при данных условиях измерений истинные погрешности превосходить практически не могут.

Предельная погрешность используется в задачах по выбору методики измерений. Принятая методика должна быть такой, чтобы истинная погрешность не превысила предельной, иначе это приведет к серьезному материальному ущербу. Поэтому вероятность q для нахождения предельной погрешности принимается достаточно малой (обычно 0.003). Ей соответствует значение предельной погрешности

D = 3m (4.3)

Пример 1

Измерение углов в триангуляции IV к ласса производится со средней квадратической погрешностью m=2”. Какую величину невязки в треугольнике следует считать максимальной, чтобы с ее помощью проверять фактические невязки на наличие грубых ошибок? Какова вероятность, что при соблюдении условий измерений фактическая невязка не превысит максимальную ?

Решение

Угловая невязка в треугольнике выражается формулой

W = b1+b2+b3-180°,

Рассматривая невязку как сумму измеренных величин, определим по формуле (3.7) ее среднюю квадратическую погрешность

m_w = mÖ3 = 2Ö3 = 3”,46,

где m- средняя квадратическая погрешность измерения одного угла.

Истинное значение невязки равно 0 , поэтому погрешность невязки и сама невязка- это в сущности одна и таже величина. Следовательно, найденная величина одновременно является средней квадратической невязкой треугольника.

Тогда допустимая невязка в соответствии с формулой (4.2) составит

Wдоп = 2.5 m_w =2.5* 3”,46=8”,65

Вероятность того, что фактическое значение невязки выйдет за пределы допуска, определим с иcпользованием формулы (2.1)

P(W>Wдоп) = 1-P(|W|>=Wдоп) = 1-2Ф(Wдоп/m_v) =

1-2Ф(8,65/3,46) = 1-2Ф(2,5) = 1-2*0,4937 = 0,0126

Полученный результат показывает, что даже при производстве только доброкачественных измерений , соответствующих запланированным условиям, 1.3% из них приходится браковть и выполнять заново, как будто они содержат грубые ошибки. Это своеобразная плата за возможность контроля измерений с помощью допустимой невязки .

П р и м е р 2

Измерение угла необходимо произвести с такой точностью, чтобы истинная погрешность не превысила 30”. Какую среднюю квадратическую погрешность нужно для этого обеспечить? Какова вероятность того, что истинная погрешность все же превзойдет величину 30”?