3. Нахождение наиболее надежного значения и его средней квадратической погрешности

3.1. Методические указания

При наличии многократных неравноточных измерений одной величины ее наиболее надежное значение находится как среднее весовое по формуле

l_cp = (l₁P₁+l₂P₂+…+l_nP_n)/(P₁+P₂+…+P_n) = [lP]/[P], (7.4)

где l₁ , l ₂ ,...l_n - результаты измерений;

P₁ , P₂ ,...P_n - их веса.

Поскольку результаты измерений представляют собой многозначные числа, производить вычисления по фрмуле (7.4) неудобно. Поэтому на практике среднее весовое обычно вычисляют по формуле

l=l₀+([lP]/[P]) , (7.5) где l₀ - условный нуль, в качестве которого обычно выбирают наименьший из результатов измерений ;

l_i ‘=l_i -l₀ - отклонение каждого результата от условного нуля.

Все задачи по нахождению наиболее надежного значения решаются с использованием формул (7.4) и (7.5). Разница между задачами состоит , как правило, лишь в способах нахождения весов отдельных измерений.

Наиболее простым является случай, когда известны средние квадратические погрешности измерений. Тогда веса измерений находятся по формуле (7.1), причем значение погрешности единицы веса принимается произвольно(см.ниже пример1).

Этим же способом определяются веса и в случае , когда средние квадратические погрешности измерений неизвестны, но могут быть вычислены по имющимся исходным данным(пример 2).

Наконец, возможны задачи, в которых данные для определения средних квадратических погрешностей вообще отсутствуют. В этом случае веса находят косвенно по величинам, которые связаны со значениями погрешностей и позволяют судить о соотношении между ними.

Например, вес отметки, полученной из хода геометрического нивелирования, принимается равным (пример 3)

P=c/l или P=c/n,

где l- длина хода;

n- количество станций в ходе;

c- коэффициент пропорциональности, который для удобства вачислений выбирается таким образом, чтобы веса отметок, полученные из разных ходов, не слишком отличались от 1.

Вес дирекционного угла последней стороны теодолитного хода обычно вычиляют по формуле

P=c/n,

где n- число углов в ходе.

Возможны и другие варианты нахождения весов с использованием формул (7.2) или (7.3.).

Средняя квадратическая погрешность наиболее гадежного значения вычисляется по формуле

m_l=/[P],

где [P]- вес наиболее надежного значения, равный сумме весов измерений, использованных для его нахождения.

Погрешность единицы веса m в формуле может находиться по- разному в зависимости от конкретных условий задачи.

Если веса измерений находились косвенно ( например, по формулам (7.6) или (7.7)) , то среднюю квадратическую погрешность единицы веса следует находть по формуле

=([P]/(n-1))

где d_i =l_i -l - отклонение каждого измерения от наиболее надежного значения.

Если же средние квадратические погрешности измерений известны и веса измерений находились по формуле (7.1) при произвольно выбранном значении m , то при n<20 это же значение m целесообразно использовать при нахождении погрешности наиболее надежного значения по формуле (7.8). Определение величины m по формуле (7.9) может привести в этом случае к значительной погрешности его определения из-за малого количества измерений.