Пример 2

Вычислить значение Y= 47.2 * 83.756,

если все цифры сомножителей верные.

Решение

С помощью микрокалькулятора найдем Y= 3953,2832. Из - за погрешностей округления сомножителей не все цифры полученного результата являются верными. Необходимо избавиться от них, но таким образом, чтобы не понизить точность результата.

Определим средние квадратические погрешности сомножителей

Тогда в соответствии с (9.5) погрешность произведения составит

При такой погрешности последней верной цифрой в произведении является количество десятков. Однако было бы поспешным округлить его до десятков, так как при этом в произведение будет внесена дополнительная погрешность округления, равная

что даже больше имеющейся погрешности m_y =2.5.

Чтобы не ухудшать результат, вносимая дополнительная погрешность не должна превышать m_y , т.е. быть меньше 0.5. Нетрудно видеть, что для этого произведения следует округлить до целых, приняв Y= 3953.

1.4. Погрешность возведения в степень округленного числа

Для функции вида

Y=Xⁿ

средняя квадратическая погрешность, обусловленная погрешностью округления аргумента X, выражается формулой

m_y =nx^n-1m, (9.6)

где m- погрешность округления X.

Пример 3

Вычислить значение Y=46.2³ , считая все цифры основания степени верными.

Решение

С помощью микрокалькулятора найдем Y=98611.128

Чтобы правильно округлить полученный результат, найдем его среднюю квадратическую погрешность по формуле (9.6)

Полученный результат показывает, что последней верной цифрой в вычисленном значении Y можно считать лишь количество тысяч.

Чтобы погрешность округления не превысила m_y , округление следует произвести до сотен, т.е. принять Y=98600.

Задачи для самостоятельного выполнения.

9.1. Вычислить сумму неодинаково округленных слагаемых и найти ее погрешность, обусловленную погрешностями округления слагаемых.

9.2. Вычислить произведение округленных сомножителей. Найти погрешность произведения, обусловленую погрешностями округления сомножителей, и соответственно полученному результату округлить значение произведения.

9.3. Возвести в степень округленное число. Найти погрешность результата, обусловленную погрешностью основания степени, и с учетом найденной погрешности округлить результат.

Практичекая работа № 10

ОБРАБОТКА ИЗМЕРЕНИЙ ПРИ НАЛИЧИИ СИСТЕМАТИЧЕСКИХ ПОГРЕШНОСТЕЙ

Целью работы - научиться

1) выявлять систематические погрешности в результатах измерений;

2) обрабатывать измерения таким образом, чтобы исключить систематические погрешности из окончательных результатов;

3) оценивать точность измерений и их функций при наличии остаточных систематических погрешностей.

Методические указания

Причины систематических погрешностей и их закономерности весьма разнообразны. Поэтому обработка измерений, содержащих систематические погрешности, в каждом конкретном случае требует применения индивидуальных приемов и методов. Приводимые ниже примеры являются иллюстрацией лишь некоторых из них.

1. Выявление систематических погрешностей

Пример 1

При исследовании новой конструкции теодолита один и тот же угол был измерен 60 раз сериями по 10 приемов ( результаты измерений не приводятся). Каждая серия выполнялась при неизменной температуре, но температуры разных серий существенно различались между собой. Необходимо выяснить, изменялись ли результаты измерений под влиянием колебаний температуры.

Решение

Если влияние температуры имело место, то результаты измерений должны содержать систематическую погрешность, значение которой постоянно в отдельной серии, но изменяется от серии к серии. К систематической добавились случайные погрешности, поэтому без специального анализа можно и не заметить наличия систематической погрешности в измерениях.

Это довольно типичная задача. Ее главной особенностью является наличие многократных измерений одной величины, в которых , помимо случайных, присутствует переменная систематическая погрешность. Для ее выявления можно использовать критерий Аббе, имеющий вид

где n- количество измерений;

x₁, x₂ , ...x_n - результаты измерений,

x- среднее из результатов измерений.

Нетрудно видеть, что критерий представляет собой отношение квадратов двух средних квадратических погрешнстей, первая из которых вычислена по разностям смежных измерений, а вторая- по отклонениям от среднего. Обе погрешности характеризуют одну и ту же совокупность и при наличии только случайных погрешностей должны быть равны. Практически из-за ограниченного количества измерений они несколько различаются, поэтому их отношение представляет собой случайную величину, незначительно отклоняющуюся от 1.

В рассматриваемой задаче при наличии систематических погрешностей, вызванных температурой, погрешность, найденная по разностям , окажется существенно меньше, так как при вычислении разностей одинаковые систематические погрешности двух смежных измерений будут взаимно уничтожаються.

При этом критерий t окажется значительно меньше 1, число и будет свидетельствовать о наличии в измерениях систематических погрешностей.

При обработке проведенных измерений были получены следующие результаты

По таблицам распределения t находим, что при уровне значимости q=0.05 значение критерия не должно быть меньше допустимой величины t _q =0.79. В нашем случае t_q > t_ф , что не может быть объяснено только случайными погрешностями и свидетельствует о наличии систематических погрешностей измерения угла, обусловленных влиянием температуры.