Практическая работа №9

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПОГРЕШНОСТЕЙ ФУНКЦИЙ ОКРУГЛЕННЫХ АРГУМЕНТОВ

Цель работы: Освоить методику нахождения погрешности функции, обусловленной погрешностями округления аргументов.

1. Методические указания

При решении маркшейдерско- геодезических задач вычисления должны быть организованы таким образом, чтобы их точность соответствовала точности обрабатываемых исходных данных. На практике для этого используется следующий принцип: погрешность, вносимая в конечный результат вычислениями должна быть не более 1/ 5 суммарного влияния погрешностей исходных данных. При обработке округленных данных такими погрешностями являются погрешности округления этих данных.

1.1. Погрешность произвольной функции округленных аргументов

Для функции округленных аргументов вида

Y = F( X₁ , X₂ ,...X_n )

средняя квадратическая погрешность, обусловленная погрешностями округления аргументов, выражается формулой

где m₁ , m₂ , ..., m_k - средние квадратические погрешности округления аргументов.

Фрмула универсальна, так как применима к функциям любого вида. Для некоторых часто встречающихся в практике функций она существенно упрощается.

1.2. Погрешность алгебраической суммы

Для функции вида

y= + X₁ +X₂ + ...+X_K

средняя квадратическая погрешность, обусловленная погрешностями округления аргументов, выражается формулой

При m₁ =m₂ =...=m_k =m получим

Из формулы (9.3) следует , что для получения суммы К слагаемых со средней квадратической погрешностью m_y необходимо, чтобы каждое слагаемое было округлено с погрешностью не более

Если слагаемые округлены неодинаково, то при их сложении необходимо придерживаться следующих правил:

- наименее точно округленные слагаемые оставить без изменения;

- остальные слагаемые округлить , сохранив один дополнительный знак, по сравнению с ранее выделенным;

- произвести сложение, учитывая все сохраненные знаки;

- полученный результат округлить на один знак.

Погрешность вычисленной суммы в общем случае может быть определена по формуле (9.2). Однако, в случае, если количество более точных слагаемых не превышает 4-кратного количества менее точных , то погрешности более точных слагаемых можно не учитывать и определять погрешность суммы по формуле (9.3), взяв в ней К равным количеству менее точных слагаемых.

Пример 1

Вычислить сумму округленных чисел

S = 47.8 + 24.271 + 81.415 - 12.45 + 7.6 + 39.8211 - 69.038 + 29.7 - 14.3

и оценить точность полученного результата.

Решение

Применяя указанные выше правила, получим

S = 47.8 + 24.27 + 81.42 - 12.45 + 7.6 + 39.82 - 69.04 + 29.7 - 14.3 = 134.82 = 134.8

В примере четыре менее точно округленных слагаемых и пять более точных. Учитывая это соотношение, вычисляем среднюю квадратическую погрешность суммы по формуле (9.3), принимая во внимание только погрешности менее точных слагаемых.

Средняя квадратическая погрешность каждого из них равна

Тогда погрешность суммы составит

m_s =0.03Ö4 = 0.06

В данном случае было бы неверным определить погрешность суммы как погрешность округленного значения S= 134.8, т.е. из выражения

Строго говоря, это значение не является округленным числом, так как содержит, помимо погрешности своего округления, также погрешности округления слагаемых. В результате его последняя цифра не обязательно является верной (вместо 8, возможно, должна стоять цифра 7 или 9). Формально эта цифра получена по правилам округления, но округляемый результат 134.82 уже содержал существенно большую погрешность, чем вносимая округлением.

Однако, было бы ошибочным округлить значение суммы еще на один знак (до целых), чтобы избавиться от неверной цифры. Ведь при этом погрешность округленной суммы составит

т.е. окажется значительно больше прежней погрешности 0.06.

Из сказанного следует важный вывод: прежде чем определять погрешность округления числа по его записи, необходимо убедиться, что число действительно является округленным, т.е. все его цифры верны.

1.3. Погрешность произведения округленных аргументов

Дана функция Y= X₁ * X₂ ,

где X₁ и X₂ - числа, округленные со средними квадратическими погрешностями m₁ и m₂ .

Погрешность функции , обусловленная погрешностями округления сомножителей, выражается формулой