Контрольные вопросы

1. Как выглядит общая и рабочая формула для нахождения наиболее надежного значения?В чем преимущество рабочей формлы?

2. В чем преимущество среднего весового перед каждым из измерений ?

3. В каких случаях можно найти веса при отсутствии средних квадратических погрешностей? Как это делается?

4. Как находится средняя квадратическая погрешность единицы веса по истинным погрешностям?

5. Как найти погрешность единицы веса, если веса находились косвенно?

6. В каких случаях не имеет смысла вычислять погрешность единицы веса по отклонениям от наиболее надежного значения?

7. Чему равны вес и средняя квадратическая погрешность наиболее надежного значения?

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА №8

Исследование свойств погрешностей округления

Цель работы:

1) освоить правила округления чисел;

2) научиться определять предельную и среднюю квадратическую погрешность округленного числа по его записи;

3) экспериментально исследовать свойства погрешностей округления и сравнить их с теоретическими характеристиками.

Методические указания

Исходными данными для работы являются значения 60 углов, указанных в индивидуальном варианте. Необходимо сначала с помощью микрокалькулятора или таблиц определить значения синуса этих углов с точностью до 0.00001, а затем округлить их до 0.001, руководствуясь следующими правилами:

- если первая из отбрасываемых цифр меньше 5, то оставляемые цифры не меняются;

- если первая из отбрасываемых цифр больше 5, то последняя из оставляемых цифр уве личивается на единицу;

- если первая отбрасываемая цифра равна 5 и среди остальных отбрасываемых имеются ненулевые, то после дняя из оставляемых цифр увеличивается на единицу;

- если первая отбрасываемая цифра равна 5, а все остальные отбрасываемые цифры равны нулю, то последняя из оставляемых цифр не изменяется , если она четная, и увеличивается, если она нечетная.

Для удобства последующей обработки точные и округленные значения синуса следует сразу занести в таблицу следующего вида

Таблица

N	Значение	Точные	Округленные	Погрешность	Сумма
пп	угла	значения	значения	округления
		sin	sin
1
2
...
60

Пятизначные значения синуса можно принять за истинные. Тогда при их вычитании из округленных значений получим истинные поргешности округления.

Анализ полученных погрешностей позволяет установить следующие их свойства.

1. Предельная погрешность округления равна половине единицы последнего удерживаемого дестятичного знака ( в данном случае 0.0001). Просмотрев значения всех полученных погрешностей округления, можно убедиться, что все они по абсолютной величине меньше 0.00005.

Знание 1-го свойства позволяет по записи любого округленного числа легко определить предельную погрешность его округления. Например, для числа 814.36 она составит

2. Положительные и отрицательные погрешности округления равновозможны. Для проверки этого свойства необходимо в имеющейся совокупности подсчитать количество положительных и отрицательных погрешностей и вычислить их относительные частоты по формуле

(8.1)

где К- клоичество положительных или отрицательных погрешностей;

n=60 - число всех погрешностей.

Относительные частоты для положительных и отрицательных погрешностей должны получиться близкими между собой, что и подтверждает второе свойство.

3. Математическое ожидание погрешности округления равно 0.

Для проверки этого совйства необходимо вычислить среднее арифметическое из10,20,30,...,60 погрешностей. Сопоставляя полученные результаты можно заметить, что при увеличении числа данных среднее стремится к 0. Поскольку пределом среднего арифметического при неограниченном увеличении числа испытаний является математическое ожидание, можно считать, что обнаруженная закономерность в изменении средних подтверждает равенство 0 математического ожидания погрешности округления.

4. Все значения погрешности округления равновозможны.

В полученной совокупности погрешности округления изменяются в пределах от - 0.0005 до + 0.0005. Для проверки четвертого свойства необходимо разбить указанный диапазон на 5 интервалов шириной 0.002 каждый (от -0.0005 до +0.0003, от -0.0003 до -0.0001 и т.д.) и сначала подсчитать количество погрешностей , попавших в каждый интервал,а затем по формуле (8.1) вычислить относительную частоту попадания .

Если отностительные частоты всех интервалов окажутся близкими между собой, то это и будет подтверждением четвертого свойства.

Наличие истинных погрешностей позволяет по формуле (1. ) вычислить экспериментальное значение средней квадратической погрешности округления m_э и сравнить его с теоретическими , которое определяется формулой

(8.2)

где d=0.0005- предельная погрешность округления.

Близость m_э и m_о должна экспериментально подтвердить справедливость формулой (8.2).

В заключении необходимо сравнить выявленные свойства погрешностей округления со свойствами погрешностей измерений.