Решение
Принимаем результат высокоточного измерения угла за истинное значение. По формуле ( 1.1 ) вычисляем истинные погрешности измерений D и заносим их в табл. 1. Возводим истинные погрешности в квадрат и вычисляем их сумму. Находим среднюю квадратическую погрешность измерения угла по формуле ( 1.4 )
Как видим, она получилась существенно меньше 20², что, казалось бы, свидетельствует о пригодности теодолита для измерений в подземной опорной сети. Однако, в действительности такой вывод является преждевременным, так как не учитывает, что из-за ограниченного количества измерений ( n = 25 ) величина m определена с погрешностью и ее истинное значение может существенно отличаться от вычисленного.
Используя формулу ( 1.5 ), определим среднюю квадратическую погрешность нахождения величины m
Как будет показано в дальнейшем, истинная погрешность величины может превосходить ее среднюю квадратическую погрешность в 3 раза. Это значит, что в самом неблагоприятном случае найденное значение 13², возможно, содержит истинную погрешность, равную 1².8 * 3 = 5².4. Другими словами, истинное значение средней квадратической погрешности лежит в интервале
7².6 £ mист £ 18².4 .
Как видим, в любом случае оно меньше 20². Значит, исследуемый теодолит действительно пригоден для измерений в подземной опорной сети.
Пример 2
Длины двух сторон были измерены с разными средними квадратическими погрешностями. При этом получены следующие результаты :
l1 = 42.845м m1 = 0.004м
l2 = 320.412м m2 = 0.015м.
Какая из длин измерена в лучших условиях?
Решение
На величину погрешности измерения длины, помимо инструмента, наблюдателя и внешней cреды, большое влияние оказывает объект измерения, а точнее, численное значение измеряемой длины. Чем больше измеряемая длина, тем, при прочих одинаковых факторах, больше ее средняя квадратическая погрешность. Следовательно, для полной харатеристики точности измерения длины необходимо учитыать не только среднюю квадратическую погрешность, но и численное значение длины. Практически это делается с помощью относительной погрешности, вычисляемой по формуле ( 1.6 ). Для рассматриваемых длин относительные погрешности составляют
Сравнивая относительные погрешности, видим, что что условия измерения второй длины лучше, хотя ее средняя квадратическая погрешность меньше.
Задачи для самостоятельного решения
1.1. При измерении углов в триангуляции 1-го класса получены невязки 60 треугольников, значения которых в секундах приведены в табл. 2. Используя приведенные данные, необходимо :
1) проверить свойства случайных погрешностей измерений;
2 )вычислить среднюю квадратическую погрешность по 20, 30, ... ,60 невязкам и построить график ее зависимости от количества невязок. Таблица 2
N |
Невязка |
N |
Невязка |
N |
Невязка |
N |
Невязка |
1 |
-1.38 |
16 |
-1.57 |
31 |
-0.51 |
46 |
-0.05 |
2 |
+0.42 |
17 |
+1.31 |
32 |
+0.21 |
47 |
+0.48 |
3 |
-1.00 |
18 |
+0.09 |
33 |
-0.72 |
48 |
-0.14 |
4 |
+0.45 |
19 |
-0.73 |
34 |
+0.46 |
49 |
-1.06 |
5 |
-1.95 |
20 |
+1.36 |
35 |
+0.35 |
50 |
-1.04 |
6 |
-0.79 |
21 |
+0.38 |
36 |
-0.45 |
51 |
-0.63 |
7 |
-0.28 |
22 |
+0.87 |
37 |
-0.14 |
52 |
+0.75 |
8 |
+0.51 |
23 |
-1.20 |
38 |
+0.03 |
53 |
+1.99 |
9 |
-0.22 |
24 |
+0.76 |
39 |
+0.08 |
54 |
-1.36 |
10 |
+1.04 |
25 |
+0.73 |
40 |
-0.41 |
55 |
-0.97 |
11 |
-0.41 |
26 |
-0.79 |
41 |
-0.41 |
56 |
+0.88 |
12 |
-0.73 |
27 |
-0.73 |
42 |
+0.98 |
57 |
+1.13 |
13 |
-1.55 |
28 |
-0.26 |
43 |
-0.54 |
58 |
+0.74 |
14 |
+2.03 |
29 |
+0.47 |
44 |
+0.55 |
59 |
-0.26 |
15 |
+0.56 |
30 |
+0.25 |
45 |
+0.34 |
60 |
+0.61 |