1.2. Задачи для самостоятельного решения

7.1. Угол в подземном полигоне измерен со средней квадратической погрешностью 20” и имеет вес, равный 2”. Сколько нужно сделать приемов, чтобы получить среднее значение угла с весом , равным 4, если средняя квадратическая погрешность одного приема составляет 15”?

7.2. В треугольнике один угол измерен дважды со средней квадратической погрешностью одного измерения 10”, а второй- трижды с погрешностью отдельного измерения 7”.

За окончательное значение углов приняты средние арифметические. Третий угол вычислен по двум измеренным. Найти средние квадратические погрешности и веса всех трех углов треугольника.

7.3. Дирекционный угол начальной стороны подземной опорной сети был определен сначала из геометрического ориентирования со средней квадратической погрешностью m₁ , а затем двумя гирокомпасами с погрешностями соответственно m₂ и m ₃ . Найти веса всех трех определений дирекционного угла.

7.4. Дирекционный угол последней стороны теодолитного хода определен гирокомпасом. Средняя квадратическая погрешность и вес полученного результата составляют соответственно m_г и Р_г . Найти вес дирекционного угла этой же стороны, найденного из теодолитного хода, если средняя квадратическая погрешность одного угла равна m_b , а число углов n ( погрешностью исходного дирекционного угла пренебречь).

7.5. Длина линии, измеренная рулеткой, имеет среднюю квадратическую погрешность m_p и вес Р_р .Чему равна погрешность измерения этой же длины светодальномером, если вес полученного результата равен Р_с?

Конрольные вопросы

1. Что называется весом?

2. В чем разница в характеристике точности, даваемой весом и средней квадратической погрешностью?

3. В каком случае погрешность единицы веса при расчете весов принимается произвольно?

4. Почему вес принимается обратно пропорциональным квадрату, а не первой степени средней квадратической погрешности?

5. Почему при отсутствии других данных вес отдельного измерения не представляет практической ценности?

6. Почему возникает необходимость для характеристики точности измерений пользователя весом?

2. Вес функции измеренных величин

2.1. Методические указания

Для функции измеренных величин вида

y=F(l₁, l₂, . . . , l_n) (7.1)

вес определяется выражением

1/P_y=(F/l₁)²(1/P₁)+(F/l₂)²(1/P₂)+…+ (F/l_n)²(1/P_n) (7.2)

где (F/l_i)² - частная производная функции по измеренной величине :

P_i - вес измеренной величины.

В маркшейдерской практике часто приходится определять вес суммы измеренных величин. В этом случае формула (7.2) приобретает более простой вид

1/P_y=1/P₁+1/P₂+…+1/P_n (7.3)

Пример 1

В замкнутом теодолитном ходе первые n’=6 углов измерены одним теодолитом, а остальные n” =9 углов - другим. Превый теодолит обеспечивает измерение угла с весом P’=3, второй - с весом P”=2. Определить вес угловой невязки хода.

Решение

Угловая невязка хода определяется выражением

f_b =b₁’ + b₂ ‘ + ... + b₆ ‘ + b₁ “ + b₂ “+ ...+ b₉ “ - 180(n’ + n” -2)

т.е. представляет собой сумму измеренных величин. Поэтому для определения ее веса воспользуемся формулой (7.3)

1/P_f=1/3+1/3+…+1/3+1/2+1/2+…+1/2=13/2.

Тогда P_f=2/13.

Пример 2

Превышение между двумя точками в шахте определялось тригонометрическим нивелированием. При этом значения измереных величин и их веса составили

l= 82746мм P_l =1 d=30°06’00” P_d =2,8*10⁹ v=1354мм P_v =4 i=1108мм P_i =4

Определить вес вычисленного значения превышения.

Решение

Прежде всего следует обратить внимание на то, что вес угла наклона резко отличается от весов линейных величин. Эта разница становится вполне объяснимой, если учесть , что при нахождении весов по формуле (7.1) средняя квадратическая погрешность измерения угла выражается в радианах и поэтому представляет собой очень маленькую величину.

Превышение при тригонометрическом нивелировании вычисляется по формуле

h= l sin d + v –I

т.е. представляет собой функцию измеренных величин.

Затруднительность определения веса данной фкнкции состоит в том, что измеренные величины неоднородны: линейные величины l, v, i и угловая величина .

Вес функции может быть определен по формуле (7,2), но для этого предварительно необходимо найти веса измерений. Поскольку погрешности всех измерений известны, величину погрешности единицы веса  и ее размерность (метры, секунды) можно принять произвольно. Пусть например =0,009м, тогда

Pl=0.009²/0.009²=1

Pv=Pi=0.009²/0.002²=20

СКП угла наклона выразим в радианах. Тогда его вес составит

P_=(0.009²/30²)206265²=3829

Для нахождения веса воспользуемся выражением (7.2)

1/P_h=sin² (1/P_l) + l²cos² (1/P_)+1/P_v+1/P_i=

0.392²*(1/1)+82.746²*0.92²*(1/3829)+(1/20)*2=

0.154+1.512+0.1=1.766,

откуда P_h=0.57

Исходные погрешности измерений m_l=0.009м и m_=30” соответствуют нормам точности подземных съемок и в этом смысле примерно равноценны. В то же время рассчитанные веса этих измерений резко различаются (1 и 3829), что противоречит понятию веса как показателя соотношения точностей измерений. Это объясняется тем, что полученные значения, строго говоря, представляют собой не веса, а лишь некоторые условные коэффициенты, так вообще невозможно прямо сопоставить веса и погрешности неоднородных измерений. Можно сопоставить лишь степень влияния погрешностей этих измерений на некоторую функцию этих величин (в данном случае на превышение). Это влияние характеризуется величинами слагаемых при вычислении 1/P_h, различие между которыми сравнительно невелико.

Задачи для самостоятельного решения

7.6 В теодолитном ходе, состоящем из 12 углов, дирекционный угол исходной стороны определен с весом, рвным 1. Углы хода измерены равноточно и имеют веса, равные 2. Найти вес дирекционного угла конечной стороны хода.

7.7. В треугольнике первый угол определен как среднее из трех приемов, второй угол как среднее из пяти приемов, а третий угол вычислен по первым двум. Считая вес одного приема равным 2,5, найти вес третьего угла треугольника.

7.8. В треугольнике АВС для нахождения стороны АС измерены сторона АВ и прилежащие к ней углы А и В. Веса измеренных величин составили P_ав, P_а , P_в . Найти вес вычисленной стороны АС.

7.9. Отметка исходного репера имеет вес, равный P₀ . От репера проложен ход геометрического нмвелирования из n станций. Превышения на всех станциях определялись равноточно, причем вес одного превышения равенP_h . Найти вес конечной отметки хода.

7.10. Для измерения длины стороны теодолитного хода она была разбита на интервалы, и каждый интервал измерен независимо от других. Веса измеренных длин интервалов составили соответственно P1=1, p2=1,5, P3=2. Определить вес длины всей стороны.

7.11. При прокладке хода геометрического нивелирования превышение на каждой станции определялось по двум сторонам рейки и за окончательное значение бралось среднее арифметическое. Определить вес превышения, если вес отсчета по рейке равен P.

7.12. При прокладке хода по наклонной выработке измерены длина стороны l и угол наклона d с весами соответственно P_l и P_d . Найти вес горизонтального проложения.

Контрольные вопросы

1. Как находится вес функции общего вида измеренных величин?

2. Как находится вес алгебраической суммы измеренных величин?

3. В чем особенность совместного расчета весов угловых и линейных величин?