Контрольные вопросы

1. Расшифруйте требования, которым должна удовлетворять наилучшая оценка исинного значения.

2. Покажите, что среднее арифметическое является эффективной оценкой истинного значения.

3. Получите формулу для средней квадратической погрешности среднего арифметического.

4. Какое практическое значение имеют свойства отклонений от среднего арифметического?

5. Как определить точность измерений с помощью среднего арифметического?

6. В чем основной недостаток среднего арифметического как оценки истинного значения?

7. Что такое интервальная оценка и в чем ее преимущество перед точечной?

8. Чем определяется точность и надежность интервальной оценки и как они связаны между собой?

9. Изложите порядок построения доверительного интервала.

10. *Когда и почему для построения доверительного интервала используется распределение Стьюдента?

11. Чем достигается уменьшение ширины интервала при неизменной доверительной вероятности?

Практическая работа № 7

ОБРАБОТКА НЕРАВНОТОЧНЫХ ИЗМЕРЕНИЙ ОДНОЙ ВЕЛИЧИНЫ

Цель работы:

1) освоить понятие веса как относительной меры точности;

2) научиться находить веса функций измеренных величин;

3) освоить методику обработки неравноточных измерений одной величины с нахождением наиболее надежного значения и его средней квадратической погрешности.

В связи со значительным объемом материала, изучаемого в практической работе, его изложение разделено на части. Каждая из них посявщена отдельному изучаемому вопросу и имеет законченный характер, т.е. содержит необходимые теоретические сведения, решенный пример и задачи для самостоятельного выполнения

1. Вес как отностиельная мера точности

1.1. Методические указания

Измерения, произведенные с разными средними квадратическими погрешностями называются неравноточными.

При обработке неравоточных измерений обычно пользуються специальной относительной характеристикой точности измерений, называемой весом. Вес измерения выражается формулой

(7.1.)

где m- средняя квадратическая погрешность измерения;

m- средняя квадратическая погрешность измерения с весом, равным 1 ( погрешность единицы веса).

При отсутствии других данных вес отдельно взятого измерения не представляет никакой практической ценности, так как не позволяет даже приближенно судить о точности измерения. Как видно из формулы (7.1) , для определения средней квадратической погрешности измерения нужно дополнительно знать погрешность единицы веса m.

Если известны веса нескольких измерений, то это имеет практическую ценость даже при отсутствии m, так как позволяет использовать веса в расчетах, где нужно только соотношение точностей измерений( например, при нахождении наиболее надежного значения, о чем пойдет речь ниже). Однако , и в этом случае абсолютную точность измерений можно оценит только при наличии m или средней квадратической погрешности хотя бы одного из измерений.

При наличии средних квадратических погрешностей нескольких измерений их веса можно найти по формуле (7.1), приняв в ней величину m произвольно. При этом независимо от выбранного значения m соотношение между весами сохраняется неизменным.

Рассмотрим различные варианты расчета весов и погрешностей измерений с использованием формулы(7.1).

Пример 1

Углы в треугольнике измерены неравноточно. Веса измерений равны P1=2, P2=4, P3=6. Определить средние квадратические погрешности второго и третьего углов, если погрешность первого угла составляет m₁ =1’.

Решение

Для первого угла известны вес и средняя квадратическая погрешность. Это дает возможность с помощью формулы (7.1) найти сначала погрешность единицы веса,

m=m₁P₁=1’2=1’.4

а затем средние квадратические погрешности второго и третьего углов

m₂=m/P₂=1’.44=0’.7

m₃=1’.46=0’.6

В данном примере погрешность единицы веса в сущности уже задана благодаря наличию и веса и средней квадратической погрешности первого угла. Однако, как видно из следующего примера, при определенных условиях величину m можно принимать произвольно.

Пример 2

Произведено три измерения одного и того же угла со средними квадратическими погрешностями m₁ =2”, m₂ =3”, m₃ =6”. Определить веса измерений.

Решение

Поскольку вес является относительной характеристикой точности, веса ряда измерений можно одновременно увеличивать или уменьшать в одинаковое число раз. От этого соотношение между ними не изменится. Практически это означает, что при вычислении весов по формуле (7.1) величину m можно принимать произвольно.

Примем m=6”. Тогда

P₁=6²/2²=9 P₂=6²/3²=4 P₃=6²/6²=1

Если принять m=12” то

P₁=12²/2²=36 P₂=12²/3²=16 P₃=12²/6²=4

Из первого расчета весов виден реальный смысл величины m.

Она численно равна средней квадратической погрешности измерения с весом 1 . Поэтому m и называют погрешностью единицы веса.

Хотя во втором случае значения весов получились другими, соотношения между ними остались теми же, что и в первом случае.