Контрольные вопросы

1. Получите формулу для вычисления средней квадратической погрешности по разностям двойных измерений.

2. Как вычисляется средняя квадратическая погрешность , если в измерениях присуиствуют систематические погрешности?

3. Почесму оценка точности по разностям двойных измерений недостаточно надежна?

4. Получите формулу для определения средней квадратической погрешности по невязкам треугольников и К- угольников .

5. Сравните способы определения средней квадратической погрешности по невязкам и по разностям двойных измерений.

6. Приведите примеры производственных измерений, когда среднюю квадратическую погрешность можно определить по разностям или невязкам.

7. В чем ограниченность критерия (5.2)?

Практическая работа № 6

ОБРАБОТКА РАВНОТОЧНЫХ ИЗМЕРЕНИЙ ОДНОЙ ВЕЛИЧИНЫ

Цель работы:

1) Научиться вычислять наиболее надежное значение измеренной величины и оценивать точность по отклонениям от него;

2) освоить методику построения доверительного интервала для истинного значения измеренной величины.

Методические указания

Проведено n равноточных измерений одной и той же величины. При этом получены результаты l₁, l₂ ...l_n, не содержащие систематических погрешностей. Что следует принять за наилучшую оценку истинного значения измеренной величины?

За наилучшую оценку следует принять среднее арифметическое результатов измерений, которое выражается формулой

_ l₁ + l₂ + ...+ l_n [ l ]

l = = ---- (6.1)

n n

где l_i -результат измерения; n- число измерений.

Для упрощения вычислений среднее арифметическое обычно находят по несколько видоизмененной формуле

l= l₀+[l’]/n (6.2)

где l₀ -наименьший из результатов измерений;

l_i ^‘ = l_i - l₀ - отклонения измерений от наименошего результата .

Учитывая близость среднего арифметического к истинному значению , его называют наиболее надежным значением и используют вместо истинного для нахождения средней квадратической погрешности измерений по аналогии с ранее рассмотренным способом.Для этого сначала находят отклонения результатов измерений от среднего арифметического

_I = l_I - l_cp (6.3)

а затем вычисляют среднюю квадратическую погрешность одного измерения по формуле

m=([]/(n-1)) (6.4)

Точность найденного значения m характеризуется средней квадратической погрешностью

m_m=m /(2(n-1)) (6.5)

Наиболее надежное значение всегда точнее результата отдельного измерения. Его средняя квадратическая погрешность выражается формулой

m_l(cp)=m/n (6.6)

Нетрудно видеть, что при неограниченном увеличении числа измерений она стремится к 0. Соответственно величина l приближается к истинному значению.

Формула (6.4) обеспечивает надежное определение средней квадратической погрешности, если измерения проведены только со случайными погрешностями . Если же во всех n измерениях присутствует систематическая погрешность , то при находении m она сначала без изменений перейдет в среднее арифметическое, а при вычислении d исключится. Следовательно, найденное значение m ее никак не отразит и даст приукрашенную картину точности.

Соответственно и формула (6.6) отражает влияние только случайных погрешностей. Систематическая погрешность среднего арифметческого не может быть снижена увеличением числа измерений.

Среднее арифметическое называется точечной оценкой истинного значения, так как графически изображается точкой на числовой оси. Недостаток точечной оценки состоит в том, что при ее использовании остается неопределенным положение истинного значения. Чтобы более определенно указать положение истинного значения, в ряде случаев используют интервальную оценку. Для этого строят так называемый доверительный интервал , в котором с заранее выбранной вероятностью b₀ лежит истинное значение. Эта вероятность также называется доверительной.

В общем виде доверительный интервал можно охарактеризовать выражением

P ( l_cp - d =< L= < l_cp + d ) = b₀ (6.7)

где d - половина ширины интервала.

Из выражения (6.7) видно, что построение доверительного интервала сводится главным образом к нахождению величины d . Она зависит от точности определения среднего арифметического l и выбранной доверительной вероятности b₀ и находится в следующем порядке:

1) вычисляется значение функции Лапласа

F (t) = ₀/2 (6.8)

2) по таблицам функции Лапласа по значению F(t) находится t;

3) вычисляется d по формуле

  tm /n (6.9)

где n- число проведенных измерений;

m- средняя квадратическая погрешность отдельного измерения.

После этого строится доверительный интервал в виде l_cp- tm /n =< L =< l_cp+ tm /n (6.10)

В случае , если средняя квадратическая погрешность m заранее неизвестна, ее приходится определять по результатам проведенных измерений с использованием формулы (6.4). При этом из-за ограниченного числа измерений она вычисляется с погрешностью , что дополнительно влияет на ширину доверительного интервала.

Чтобы учесть это влияние, при построении доверительного интервала значение t находят не с помощью функции Лапласа, а по таблицам распределения Стьюдента в зависимости от величины b₀ , и числа степеней свободы r = n-1.

Пример 1

Многократные измерения одной и той же длины светодальномером МСД1м дали результаты, представленные в табл.12.

Таблица 12

N	Результаты измерения,м	d,мм	dd
1	352,174	0	0
2	,180	+6	36
3	, 171	-3	9
4	, 176	0	4
5	, 170	-4	16
6	, 173	-1	1

[ d ] =0 [ dd ]=66

Считая, что измерения содержат только случайные погрешности, определить:

1) наиболее надежное значение измеренной длины;

2) среднюю квадратическую погрешность отдельного измерения;

3) абсолютную и относитлеьную среднюю квадратическую погрешность наиболее надежного значения.