![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
5. Метод подвижного базиса и уравнения Френе
Одной из задач
теоретической механики является изучение
траекторий движения материальной точки.
Поскольку траектория есть линия в
трехмерном пространстве, то эта задача
решается средствами дифференциальной
геометрии. Удобный метод анализа любой
линии связан с так называемым подвижным
базисом и уравнениями Френе. В каждой
точке
заданной кривой вводится ортонормированный
базис
,
направление векторов которого при
перемещении точки
вдоль кривой изменяется в соответствии
с ее формой.
Пусть кривая задана параметрическими уравнениями
(5.1)
где
-
радиус-вектор точек кривой, а
-
длина ее дуги.
Следовательно
(5.2)
Введем обозначение
(5.3)
Вектор
-
единичный касательный к кривой в
-22-
без ограничения
общности примем
.
Тогда используя уравнения (5.12 b,
c,
d)
Френе, получаем
Введем декартовы
координаты
в направлениях векторов
и
соответственно, начало которых совместим
с точкой
на кривой (см. рис. 2).
Рис.2.
-27-
.
(5.13a-d)
Три уравнения
Френе (5.12 b,
c,
d)
составляют замкнутую систему
дифференциальных уравнений для трех
векторных функций подвижного базиса.
Они единственным образом определяют
форму кривой в трехмерном пространстве,
если известны две функции
и
длины дуги
кривой. Положение же этой кривой в
пространстве регулируется уравнением
(5.12a).
Его решение
единственно, если заданы точка
,
через которую проходит кривая, и ее
направление в точке
.
Функция
называется кривизной,
соответственно
радиусом
кривизны,
а функция
называется кручением
кривой. Плоскость, которой принадлежат
векторы
и
,
принято называть соприкасающейся
плоскостью;
плоскость, в которой лежат векторы
и
,
спрямляющей;
а плоскость с векторами
и
соответственно нормальной.
Векторы
и
называются соответственно нормалью
и бинормалью
к кривой, поскольку оба они ортогональны
к касательному к кривой вектору
.
Выясним
геометрический смысл функций
и
.
Для этого разложим векторную функцию
в ряд Тейлора в окрестности произвольной
точки
кривой. За начальную точку отсчета длины
дуги
может быть принята любая точка на кривой, поэтому
-26-
каждой ее точке
(5.4)
Дифференцируя
это
равенство по , получаем
(5.5)
Векторы
и
Рис.1
ортогональны друг к другу.
Обозначим модуль вектора
через
,
а единичный вектор в направлении
,
соответственно, через
.
Теперь вектор
можно представить в следующем виде:
(5.6)
И, наконец, определим вектор такой, что
(5.7)
Из определений (5.3), (5.7) и равенств (5.4) (5.6) следует, что
-23-
(5.8)
Три единичных
ортогональных друг к другу вектора
и
(см. рис.1) в каждой точке заданной кривой
образуют подвижный ортонормированный
базис
Его часто называют еще естественным
базисом кривой, как и длину дуги
естественным параметром кривой. Векторы
подвижного базиса удовлетворяют трем
уравнениям Френе. Одно из них совпадает
с (5.6a).
Для получения остальных двух уравнений
продифференцируем векторную функцию
,
и полученный вектор разложим по векторам
подвижного базиса
(5.9)
здесь
-
коэффициенты разложения. Из единичности
вектора
следует, что вектор
ортогонален вектору
поэтому
.
Сложив равенства (5.6a)
и (5.9), предварительно умножив их скалярно
на
и
соответственно, и учтя ортогональность
векторов
и
,
получим
.
Обозначив оставшийся не определенным
коэффициент
через
,
перепишем равенство (5.9) в виде
-24-
(5.10)
Продифференцируем теперь равенство (5.7), определяющее вектор , и воспользуемся уравнениями (5.6 a) и (5.10). Получим уравнение
(5.11)
Уравнения (5.10) и (5.11) и есть недостающие два из трех уравнений Френе, которые описывают изменение пространственной ориентации естественного базиса кривой при перемещении вдоль нее. Сведем их вместе с определением (5.3) касательного к кривой единичного вектора в единую систему дифференциальных уравнений в обыкновенных производных:
(5.12a)
(5.12b)
(5.12c)
(5.12d)
-25-