![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
4. Базисы. Представление векторов в базисе
Преобразование базисов
Введем в трехмерном
евклидовом пространстве базис из трех
линейно независимых векторов
-8-
представляющих
подгруппу
группы
Ортогональные же матрицы, детерминант
которых равен
,
осуществляют преобразование “зеркального
отражения” и представляют дискретную
подгруппу
группы
.
Произвольный
вектор
может быть представлен своими компонентами
и
в базисах
и
соответственно
(6.8)
поэтому
(6.9)
Рассмотрим вектор такой, компоненты которого в базисе постоянны, т.е.
(6.10)
Он “сопровождает”
базис
,
изменяясь от точки к точке пространства,
поэтому его компоненты в декартовом
базисе
являются функциями
точки
пространства. Зависимость компонент
такого вектора от точки пространства
следует из равенства (6.9 b)
после подстановки в него (6.10).
Пусть задана произвольная кривая своими параметрическими уравнениями в функции параметра
-41-
(6.5)
Умножая (6.3a)
скалярно на
и учитывая (6.2), получаем
(6.6)
Таким образом,
элементы
матрицы
,
преобразующей декартовый базис
в базис
,
равны косинусам “направляющих” углов
каждого вектора
в декартовом базисе. Иначе говоря,
ортогональная матрица
в каждой точке пространства осуществляет
поворот базиса
до совпадения его с
.
Единичная матрица, ортогональная по
определению, осуществляет тождественное
преобразование, при котором направляющие
углы равны нулю. Детерминант единичной
матрицы равен единице. И поскольку
детерминант ортогональных матриц равен,
согласно (6.5), либо
,
либо
,
а матрица
и ее детерминант
непрерывные
функции своих аргументов, то
(6.7)
Следовательно, повороты базисов в пространстве осуществляются при участии только унимодулярных ортогональных матриц,
-40-
.
В общем случае они не являются ни
единичными, ни ортогональными. Тогда
произвольный вектор
может быть представлен согласно (1.3)
равенством
(3.1)
В правой части
этого равенства предполагается
суммирование от единицы до трех по
индексу
.
Это правило, называемое правилом сумм
Эйнштейна, используется и далее, если
не оговаривается другое. Правило сумм
Эйнштейна состоит в следующем: если в
какой-либо величине имеется повторяющийся
многозначный индекс (в одной величине
их может быть не более двух), то перед
величиной предполагается знак суммы
от 1 до 3 по повторяющемуся индексу. В
этом случае индекс называется “немым”
и может быть заменен любым другим
индексом.
Числа
,
фигурирующие в равенстве (3.1), называются
компонентами
вектора
в базисе
,
и зависят от выбора этого базиса.
Введем величину
.
(3.2)
Она является
симметричным тензором второго ранга.
Матрица
представляющая этот тензор, в силу
линейной независимости векторов
является неособенной, т.е.
и в случае ортогонального и нормированного
базиса
единичной.
-9-
Для любых двух векторов и можно теперь записать равенства
если
(3.3a)
.
(3.3b)
Поскольку
-
неособенная матрица, то можно ввести
матрицу
такую, что
(3.4)
Введем новый базис
дополняющий базис
равенствами
(3.5a,b)
Легко видеть, что
. (3.6a,b)
Из последнего равенства следует, что каждый вектор дополняющего базиса ортогонален двум векторам базиса, номера которых отличаются от номера вектора дополняющего базиса, и наоборот.
Запишем формулы, аналогичные формулам (3.1) и (3.3a,b) ,
(3.7)
,
если
,
(3.8a)
.
(3.8b)
-10-
декартовой системы
координат (они совпадают с координатными
декартовыми базисами), а
-
базисы, ассоциированные с координатными
базисами произвольной криволинейной
системы координат. Из определения 1
следуют равенства
(6.2)
Легко проверить,
следуя формулам раздела 3, что ко
и контравариантные компоненты векторов
в ортонормированных базисах совпадают.
Представим векторы
с помощью их компонент в базисе
,
а векторы
соответственно в базисе
.
Тогда получаем
(6.3)
Подставляя (6.3) в (6.2), находим
или
(6.4)
Поэтому матрица преобразования ортонормированных базисов является, согласно определению 2, ортогональной, и ее детерминант равен
-39-
ассоциированные базисы совпадают с декартовыми.
Ассоциированные базисы не обязаны быть координатными. Но поскольку они однозначно
определяются координатными базисами, то множество ассоциированных базисов является непрерывным и, следовательно, дифференцируемым. При движении точки вдоль заданной кривой в пространстве ассоциированный базис испытывает вращение вместе с координатным базисом. Это позволяет заменить задачу нахождения угловой скорости вращения координатных базисов на нахождение угловой скорости вращения ассоциированных с ними ортонормированных базисов. Все ортонормированные базисы тождественны за исключением их пространственной ориентации. Поэтому, сравнивая ортонормированные базисы,
ассоциированные
с координатными базисами криволинейной
системы координат, с декартовыми
базисами, можно судить о вращении
координатных базисов криволинейных
координат. Дело в том, что преобразование
ортонормированных базисов осуществляется
ортогональными матрицами, а группа
ортогональных унимодулярных матриц
является линейным
представлением группы вращений
Определение
2. Квадратная
матрица
называется ортогональной, если обратная
ей матрица
равна транспонированной
и называется унимодулярной, если ее
детерминант равен единице.
Положим, что - ассоциированные базисы
-38-
Поэтому числа
называются компонентами
вектора
в дополняющем
базисе.
Между числами
и
можно установить связь
(3.9)
(3.10)
Полученные
соотношения выражают правила поднятия
и опускания индексов с помощью тензоров
и
соответственно. Используя формулы
(3.1), (3.7)
(3.10),
скалярное произведение векторов
и
можно теперь выразить тремя различными
способами
(3.11)
Равенства (3.1) и (3.7) разрешаются относительно компонент вектора, а именно
(3.12)
(3.13)
Поэтому
(3.14)
Таким образом,
равенства (3.1), (3.7) и (3.14) ставят во
взаимнооднозначное соответствие вектору
его компоненты
в базисе
и компоненты
в дополняющем базисе
.
Эти компоненты вектора называются
контравариантными
и
ковариантными
соответственно.
-11-
Согласно
следствию 3 раздела 1 имеется неограниченное
множество различных базисов. Выберем
из этого множества другой базис
.
Векторы
составляющие этот базис, могут быть
представлены в исходном базисе
следующим образом
(3.15)
где
-
матрица, описывающая преобразование
базиса
в базис
,
верхний индекс матрицы нумеруют столбцы,
а нижний
строки.
Заметим, что матрица
неособенная,
поскольку векторы
линейно независимые, поэтому имеется
матрица
такая, что
Из (3.15) легко получить, воспользовавшись определением (3.2) для обоих базисов, правило преобразования тензора в виде
(3.16)
Если оба базиса
и
ортонормированные, тогда,
а
матрица
является ортогональной.
Для получения
формулы преобразования тензора
умножим обе части равенства (3.16) на
и учтем (3.4). Тогда
-12-
и вращение любого объекта геометрии, определено
только в смысле изменения его пространственной ориентации. Для характеристики пространственной ориентации координатного базиса произвольной системы координат введем ассоциированный с ним ортонормированный базис .
Определение
1. Каждой
тройке векторов
заданного координатного базиса поставим
в соответствие тройку векторов
ассоциированного с ним ортонормированного
базиса так, чтобы удовлетворялись
равенства
(6.1a,b,c)
здесь
-
угол, образуемый векторами
и
,
знаки “
”
и “
”,
соответственно, для правоориентированной
и левоориентированной троек векторов
.
Примеры ассоциированных базисов.
1. В декартовых координатах координатные и
ассоциированные базисы совпадают.
2. В ортогональных криволинейных системах
координат ассоциированные базисы получаются
нормированием на единицу модулей векторов
координатных базисов.
3. В прямолинейных косоугольных координатах
-37-