2.3 Інтервальні оцінки

Довірчий інтервал для генеральної середньої

За відомими вибірковими характеристиками можна побудувати інтервал, в якому з тією або іншою ймовірністю знаходиться генеральний параметр. Ймовірності, признані достатніми для впевненого судження про генеральні параметри на основі вибіркових показників, називають довірчими. Зазвичай в якості довірчих використовують ймовірності .

Довірчим ймовірностям, відповідають наступні величини нормованих відхилень:

Із довірчою ймовірністю тісно пов’язаний рівень значущості , під яким приймають різницю . Графічно ця величина представляє площу під нормальною кривою вибіркового розподілу, що виходить за межі тієї частини яка включає Р % площі. Так, для відхилення від центру нормального розподілу включають 95% його площі. За межами цих границь по обидві сторони знаходиться по 2,5 % площі, тому рівень значимості складає 5 % рис.1.1.

Рисунок 1.1 – Границі довірчого інтервалу

Враховуючи, що вибірковий розподіл деякої статистики, наприклад середнє арифметичної величини, при достатньо великих об’ємах вибірок має нормальну форму, можна записати вираз [1, 2]:

(1.27)

Звідси можна стверджувати, що генеральна середня  знаходиться з ймовірністю Р в інтервалі [1, 2]:

(1.28)

Нормоване відхилення визначають за таблицею Б1 для будь якого значення довірчої ймовірності .

Ймовірність знаходження істинного значення вимірюваної величини в межах довірчих границь результату однократного спостереження визначається:

(1.29)

Це означає, що істинне значення вимірюваної величини з довірчою ймовірністю Р знаходиться між границями довірчого інтервалу .

Властивість.

• При збільшенні кількості вимірювань точність підвищується. Це справджується тільки в тому випадку, якщо немає систематичних похибок і спостереження незалежні.

• Збільшення надійності при фіксованій вибірці призводить до збільшення довірчого інтервалу і зменшенню точності.

Довірчий інтервал для генеральної дисперсії і стандартного відхилення

Довірчий інтервал для дисперсії нормально розподіленої генеральної сукупності визначається:

(1.30)

де - квантелі розподілу хі – квадрат;

α – рівень значимості.

Довірчий інтервал для стандартного відхилення нормально розподіленої генеральної сукупності визначається:

(1.31)

3. Виконання роботи

Завдання 1. Оцінка довірчого інтервалу математичного очікування

При вимірюванні гемоглобіну в крові у пацієнта отримані наступні дані:

Варіант	Вміст гемоглобіну в крові, г/л
приклад	75,7	70,1	80,5	70,7	71,4	78,8
1	78,025	76,943	77,87	75,718	72,414	80,196	79,457	82,504	89,863
2	123,134	122,113	122,989	120,956	117,836	125,185	124,478	127,365	134,315
3	114,178	113,18	114,036	112,051	109,004	116,181	115,499	118,309
4	119,292	118,357	119,159	117,299	114,443	121,169	120,531	123,164
5	130,222	129,248	130,083	125,173	132,176	131,511	134,254	140,877	128,147
6	122,213	121,235	122,074	120,128	117,139	124,177	123,509	126,265	132,921
7	117,266	116,316	117,131	115,242	112,342	119,172	118,523	121,198
8	123,358	122,459	123,23	121,442	118,696	125,163	124,549	127,081
9	113,064	112,004	112,913	110,804	107,566	115,192	114,468	117,545	125,666
10	126,442	125,588	126,32	124,622	122,016	128,155	127,572	129,975

Визначити довірчий інтервал для математичного сподівання концентрації гемоглобіну в крові для даних пацієнтів. Порівняти з нормою: С_норма=13010(г/л).

Приклад виконання завдання ППК Excel.

1. Визначаємо середнє арифметичне значення дослідних даних за формулою (1.1):

=СРЗНАЧ(I3:N3)

2. Визначаємо дисперсію дослідних даних за формулою (1.8):

=ДИСП(I3:N3).

3. Визначаємо середнє-квадратичне відхилення (1.16):

=СТАНДОТКЛОН(I3:N3)

4. Визначаємо квадратичну похибку середнє арифметичної формулою (1.19):

5. Визначаємо нормоване відхилення визначають для будь якого значення довірчої ймовірності:

=НОРМСТОБР((1+0,95)/2).

6. Визначаємо довірчий інтервал генеральної середньої  з ймовірністю Р за формулою (1.28):

=N7-ДОВЕРИТ(0,05;N13;P3) =N7+ДОВЕРИТ(0,05;N13;P3)

Висновок. З імовірністю Р=95 % отримане значення гемоглобіну знаходиться в межах

,

що не відповідає встановленій нормі С_норма=13010(г/л).

Рисунок 1.1 – Приклад виконання завдання 1 «Оцінка довірчого інтервалу математичного очікування»

Завдання 2. Аналіз зміни півширини довірчого інтервалу в залежності від заданої довірчої ймовірності (при фіксованому об’ємі вибірки)

Дані вимірювання концентрації солі в розчині:

Варіант	Концентрація солі в розчині С, г/л
	Р = 0,6; 0,8; 0,9; 0,95; 0,99
приклад	10	10,2	10,1	10,4	10,3	10,2
1	9,7	10,2	10	10,5	9,5	9,9	11	9,7	9,4
2	9,5	9,8	10,5	10,6	10,9	10,9	9,7	9,8	10,2
3	10,2	10,9	10,8	10,8	10,7	9,8	9,7
4	9,6	9,7	10,9	10,5	10,6	9,7	9,5
5	9,2	9,6	9,7	9,2	10,2	10,3	10,3	10,4
Варіант	Р = 0,55; 0,75; 0,85; 0,95; 0,99
6	8,7	8,4	8,9	9,5	9,5	9,5	9,6	9,7
7	9,4	9,2	9,7	8,4	8,5	8,7	8,7	8,3	8,5
8	9,7	9,2	9,1	9,91	9,1	8,9	8,8
9	9,3	9,6	9,8	8,6	8,6	8,6	8,6	8,8
10	9,1	9,9	9,2	9,5	9,6	8,7	9,8	8,8

Знайти для заданої довірчої ймовірності Р довірчий інтервал. Проаналізувати зміну півширини довірчого інтервалу в залежності від заданої довірчої ймовірності (при фіксованому об’ємі вибірки).

Приклад виконання завдання ППК Excel

1. Визначаємо середнє арифметичне значення дослідних даних за формулою (1.1):

=СРЗНАЧ(G4:M5).

2. Визначаємо дисперсію дослідних даних за формулою (1.8):

=ДИСП(G4:M5).

3. Визначаємо середнє-квадратичне відхилення (1.16):

=СТАНДОТКЛОН(G4:M5).

4. Визначають для будь якого значення довірчої ймовірності:

=НОРМСТОБР((1+Р)/2).

5. Визначаємо довірчий інтервал генеральної середньої  з ймовірністю Р.

Використовуємо функцію =ДОВЕРИТ(1-G6;$G15;$N5).

Рисунок 1.2 – Приклад виконання завдання 2 «Аналіз зміни півширини довірчого інтервалу в залежності від заданої довірчої ймовірності (при фіксованому об’ємі вибірки)»

Завдання 3. Аналіз зміни півширини довірчого інтервалу в залежності від об’єму вибірки (при фіксованій довірчій ймовірності Р)

Варіант	Значення випадкової величини
	Р = 0,95
приклад	100	102	101	99	103	99	101	104	102	103
1	99	98	99	98	96	100	99	101	104	101
2	109	108	109	109	106	110	109	111	114	111
3	110	109	110	109	106	112	111	113	118	114
4	93	93	92	93	90	95	94	96	100	97
5	97	96	97	94	99	98	100	105	101	99
Варіант	Р = 0,99
6	88	87	88	86	83	90	89	92	98	93
7	93	92	93	91	88	95	94	97	103	98
8	95	94	95	93	90	97	96	99	105	100
9	95	94	99	95	92	97	98	102	99	95
10	100	100	97	99	100	102	101	103	107	104

1. Визначаємо середнє арифметичне значення дослідних даних. Використовуємо функцію

   для 3-х дослідних даних 5- ти, 8- ми та 10 – ти даних

   =СРЗНАЧ(G5:I5); ..........

2. Визначаємо дисперсію дослідних даних.

для 3-х дослідних даних 5- ти, 8- ми та 10 – ти даних

=ДИСП(G5:I5) ...........

3. Визначаємо середнє-квадратичне відхилення.

для 3-х дослідних даних 5- ти, 8- ми та 10 – ти даних

=СТАНДОТКЛОН(G5:I5) ...........

4. Визначаємо нормоване відхилення визначають для будь - якого значення довірчої ймовірності:

=НОРМСТОБР((1+Р)/2).

5. Визначаємо довірчий інтервал генеральної середньої  з ймовірністю Р:

для 3-х дослідних даних 5- ти, 8- ми та 10 – ти даних

=ДОВЕРИТ(1-Q5;G18;3) ..........

Для п'яти дослідних даних.

Визначаємо довірчий інтервал генеральної середньої  з ймовірністю Р для восьми та десяти дослідних даних.

Рисунок 1.3 – Приклад виконання завдання 3 «Аналіз зміни півширини довірчого інтервалу в залежності від об’єму вибірки (при фіксованій довірчій ймовірності Р)»

2