Взаимная перпендикулярность прямой и плоскости.

Из элементарной геометрии известно, что прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в этой плоскости.

Задача: Через точку К   построить прямую n, перпендикулярную плоскости (а  b). Анализ решения задачи проведём на пространственном чертеже, рис. 4-2.

Чтобы провести прямую n  , нужно в этой плоскости взять две пересекающиеся прямые (на рис. 4-2 это р  m = К). Прямую n нужно строить перпендикулярно одновременно двум этим прямым.

Однако, если прямые р и m будут прямыми общего положения, то прямой угол к ним ни на одной плоскости проекций не спроецируется в натуральную величину. Согласно теореме опроецировании прямого угла (см. свойство 2 ортогонального проецирования, модуль №1) прямой угол спроецируется в натуральную величину на какую-нибудь плоскость проекций, если одна сторона прямого угла будет параллельной этой плоскости проекций. Поэтому, в качестве прямых р и m выгодно взять горизонталь h и фронталь f (рис. 4-3). Тогда прямой угол между n и h спроецируется в натуральную величину на П₁, а прямой угол между n и f - на П₂.

Рис. 4-3

Плоский чертёж: На рис. 4-4 плоскость  задана параллельными прямыми а и b. Точка К(К₂) принадлежит этой плоскости. Нужно построить n  , n  К.

Рис. 4-4

Согласно приведённым выше рассуждениям, в плоскости необходимо взять горизонталь и фронталь, затем, перпендикулярно каждой из них строить п. Построения начинаем с горизонтали (рис. 4-5).

Рис. 4-5

Через точку К₂ проводим h₂  линиям связи, находим h₁, а на ней, с помощью линии связи, К₁. Так как n  h, то n₁  h₁, поэтому проводим n₁  h₁ через точку K₁.

Аналогично находим n₂ (рис. 4-6). Через точку К₁ проводим f₁  линиям связи, находим f₂. Так как n  f, тo n₂  f₂, поэтому проводим n₂  f₂ через точку К₂.

Рис. 4-6

Полностью решение задачи представлено на рис. 4-7. Видимость прямой n не учитывалась.

Рис. 4-7

Алгоритмическая запись решения:

1. h  , f  , h  f = K.

2. K  n  K₁  n₁, K₂  n₂.

3. n  h  n₁  h₁;

4. n  f  n₂  f₂.

Итак, чтобы задать на комплексном чертеже прямую n, перпендикулярную данной плоскости , достаточно построить n₁ и n₂, расположив их в любом месте чертежа, чтобы n₁h₁, n₂  f₂, где h и f - горизонталь и фронталь плоскости, при условии, что h  f.

Если плоскость  занимает проецирующее положение, то прямая, перпендикулярная ей, является линией уровня (рис. 4-8, 4-9).

Рис. 4-8

Если  - горизонтально проецирующая:

  П₁  h₁ = ₁, f  П₁

n  h  n₁  h₁; n  f  n₂  f ₂;  n - горизонталь

Рис. 4-9

Если  - фронтально проецирующая:

  П₂  f₂ = ₂, h  П₂.

n  h  n₁  h₁; n  f  n₂  f₂;  n -фронталь

Чтобы лучше понять данное утверждение, нужно вспомнить , какие прямые являются линиями уровня в проецирующих плоскостях. Для этого посмотрите рис. 2-12 и 2-14 в модуле № 2.

Обратная задача.

Чтобы задать на чертеже плоскость, перпендикулярную данной прямой n, достаточно задать проекции горизонтали и фронтали этой плоскости так, чтобы f₂  n₂, a h₁  n₁. При этом, очевидно, должно выполняться условие h  f (рис. 4-10).

Рис. 4-10

Если прямая n является прямой уровня, то плоскость, перпендикулярная ей, занимает проецирующее положение (рис. 4-11, 4-12) и может быть задана своей главной проекцией ₁ или ₂.

Если прямая n - горизонталь (рис. 4-11), то плоскость , перпендикулярная ей, является горизонтально проецирующей (₁).

Рис. 4-11

Если прямая n - фронталь (рис. 4-12), то плоскость , перпендикулярная ей, является фронтально проецирующей (₂).

Рис. 4-12

Если прямая n занимает проецирующее положение, то плоскость, перпендикулярная ей, является плоскостью уровня (рис. 4-13, 4-14).

Прямая n - горизонтально проецирующая (рис. 4-13),   n - горизонтальная плоскость уровня (₂).

Рис. 4-13

Прямая n - фронтально проецирующая (рис. 4-14),   n - фронтальная плоскость уровня(₁).

Рис. 4-14