- •Кратные интегралы Двойные интегралы
- •§1. Задача об оъёме цилиндрического бруса.
- •§2. Понятие двойного интеграла.
- •§3. Свойства двойного интеграла.
- •§4. Вычисление двойного интеграла.
- •Свойства двукратного интеграла
- •Оценка двукратного интеграла
- •Теорема о среднем.
- •§5 Замена переменных в двойном интеграле.
- •6. Вычисление площадей и объёмов с площадью двойных интегралов.
- •§7 Тройной интеграл, масса неоднородного тела.
- •§8 Вычисление тройного интеграла.
- •Теорема об оценке трёхкратного интеграла.
- •Теорема о среднем.
- •§9 Вычисление объёма тел с помощью тройного интеграла.
- •§10 Замена переменных в тройном интеграле.
- •Общая замена переменных в тройном интеграле.
- •Т ройной интеграл в цилиндрических координатах.
- •Тройной интеграл в сферических координатах.
Тройной интеграл в сферических координатах.
П оложение т. Р в сферических координатах определяется 3мя числами ,φ,θ, где
- расстояние т. Р от начала координат – радиус-вектор т.
θ – угол между радиус-вектором и осью oz.
φ – угол между проекцией радиус-вектора на плоскость xoy и осью ox.
Для любой точки пространства имеем:
Связь между декартовыми и сферичеcкими координатами:
Якобиан перехода будет равен:
Тогда
Пример 1: Вычислить ,
где – область, ограниченная поверхностями
и
параболоид вращения, ось вращения .
конус, ось симметрии .
Построим эту область.
Л иния пересечения этих поверхностей
окружность
П роще вычислить этот интеграл в цилиндрических координатах.
Пример 2: Вычислить ,
где – область, ограниченная сферой .
Приведём уравнение сферы к каноническому виду:
ц ентр сферы в т.
Удобнее этот интеграл вычислять в сферических координатах.
Уравнение сферы в сферических координатах: