- •Кратные интегралы Двойные интегралы
- •§1. Задача об оъёме цилиндрического бруса.
- •§2. Понятие двойного интеграла.
- •§3. Свойства двойного интеграла.
- •§4. Вычисление двойного интеграла.
- •Свойства двукратного интеграла
- •Оценка двукратного интеграла
- •Теорема о среднем.
- •§5 Замена переменных в двойном интеграле.
- •6. Вычисление площадей и объёмов с площадью двойных интегралов.
- •§7 Тройной интеграл, масса неоднородного тела.
- •§8 Вычисление тройного интеграла.
- •Теорема об оценке трёхкратного интеграла.
- •Теорема о среднем.
- •§9 Вычисление объёма тел с помощью тройного интеграла.
- •§10 Замена переменных в тройном интеграле.
- •Общая замена переменных в тройном интеграле.
- •Т ройной интеграл в цилиндрических координатах.
- •Тройной интеграл в сферических координатах.
§5 Замена переменных в двойном интеграле.
При вычислении двойного интеграла часто применяется метод подстановки, то есть совершается преобразование переменных .
Пусть совершена подстановка
где и - новые независимые переменные. Эти функции имеют непрерывные частные производные. С помощью этих функций каждая т. обл. D в пл. xoy отображается в т. обл пл. .
При этом отображении внутренние точки отображаются во внутренние, а граничные в граничные.
При этом отображении элементарная площадь преобразуется в элементарную площадь , получается следующая формула преобразования переменных в двойном интеграле:
где - якобиан перехода и вычисляется по формуле
Рассмотрим двойной интеграл в полярной системе координат.
– формулы связывающие декартовы координаты с полярными.
Пример: Вычислить двойной интеграл
Построим обл. D: x=0 x=a
y=0 y=
Преобразуем интеграл перейдя к полярным координатам
y= - окружность
в полярных координатах
6. Вычисление площадей и объёмов с площадью двойных интегралов.
Нам известно уже, что объём тела, ограниченного поверхностью z= f(x, y), где f(x, y)≥0, пл. z=0 и цилиндрической поверхностью, образующие которой параллельны оси OZ, а направляющей служит граница.
Объем V вычисляется по формуле:
Если тело ограничено поверхностями:
и ,
п ричем ,
то обём тела равен разности объёмов тел, ограничено поверхностью ,
а .
Поэтому объём тела будет равен:
или
Пример: Вычислить объём тела, ограниченного поверхностями
, x=0, y=0, z=0
Построим это тело
Тело ограничено координатами плоскостями и пл.
y
b
D
0
a
0
x
Сверху тело ограничено плоскостью
;
Замечание: Если ф – ия f(x, y) в обл. D меняет знак, то обл. D разбиваем на части:
а) обл. , где f(x, y)≥0
б) обл. , где f(x, y)<0
Тогда:
Вычислим площадь плоской обл. D
Пусть функция f(x,y)≡1 в обл. D,
тогда интегральная сумма для двойного интеграла будет иметь вид
площадь обл. D.
т
.е.
Пример: Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями
Из ;
0≤ y ≤ 2a Из ;
§7 Тройной интеграл, масса неоднородного тела.
Пусть в декартовой системе координат oxyz дано неоднородное тело Т, ограниченное замкнутой поверхностью S, его объём V, и пусть переменная плотность f(x,y,z) тела Т – есть непрерывная функция. Требуется вычислить массу m этого тела Т.
Разобьём это тело Т на n элементарных тел , объемом . Выберем в каждом элементарном теле произвольную т. и предположим что плотность f( ) – постоянна для всех т. тела . Тогда масса тела будет равна f( )* ,
а масса всего тела Т будет:
У
1
величивая число разбиений n, мы неограниченно уменьшаем объём тела и сумма имеет определённый предел при max Этот предел принимается за точную величину массы тела Т:
Эта сумма – есть интегральная сумма для функции f(x,y,z) по обл.V.
О
1
пределение: Тройным интегралом от функции f(x,y,z) по замкнутой трёхмерной обл. V называют предел интегральной суммы когда наибольший объём элементарной обл. :
или