- •Кратные интегралы Двойные интегралы
- •§1. Задача об оъёме цилиндрического бруса.
- •§2. Понятие двойного интеграла.
- •§3. Свойства двойного интеграла.
- •§4. Вычисление двойного интеграла.
- •Свойства двукратного интеграла
- •Оценка двукратного интеграла
- •Теорема о среднем.
- •§5 Замена переменных в двойном интеграле.
- •6. Вычисление площадей и объёмов с площадью двойных интегралов.
- •§7 Тройной интеграл, масса неоднородного тела.
- •§8 Вычисление тройного интеграла.
- •Теорема об оценке трёхкратного интеграла.
- •Теорема о среднем.
- •§9 Вычисление объёма тел с помощью тройного интеграла.
- •§10 Замена переменных в тройном интеграле.
- •Общая замена переменных в тройном интеграле.
- •Т ройной интеграл в цилиндрических координатах.
- •Тройной интеграл в сферических координатах.
§8 Вычисление тройного интеграла.
Пусть дана трёхмерная обл. V, ограниченная замкнутой поверхностью S. Она обладает следующими свойствами:
Всякая прямая, параллельная оси oz, проходящая через внутреннюю т. обл. V, пересекает поверхность S в двух точках.
Вся область V проектируется на пл. oxy в правильную обл. D
Обл. V, обладающую указанными свойствами, называют правильной трёхмерной областью.
Т акую область можно задать следующим образом:
причём
Выражение вида
называют трёхкратным интегралом.
Вычисление начинают с внутреннего интеграла
а далее как в двукратном интеграле.
Трёхкратный интеграл имеет те же свойства что и двухкратный интеграл
Если обл. V разбить на две обл. и плоскостью, параллельной какой-либо из координатных плоскостей, то
Следствие: Если обл. V разбить на обл. ,
то
Теорема об оценке трёхкратного интеграла.
Если m, M – соответственно наименьшее и наибольшее значения функции в обл. V, то имеет место неравенство
,
где V – объём данной обл. V
Теорема о среднем.
Трёхкратный интеграл от непрерывной функции по обл. V равен произведению его объёма V на значение функции в некоторой точке Р обл. V, т. е.
Все свойства трехкратного интеграла доказываются аналогично как доказывают свойства двукратного интеграла.
Теорема: Тройной интеграл от функции по правильной обл. V равен трёхкратному интегралу по той же обл.
Доказательство аналогичное доказательству вычисления двойного интеграла.
Скобки в трёхкратном интеграле можно опустить и дифференциалы писать после каждого интеграла.
Пример: Найти массу тела, ограниченного координатными плоскостями и плоскостями x+y+z=2, x=1, y=1, если плотность тела задана формулой .
П остроим это тело.
Тело OACBEFD
§9 Вычисление объёма тел с помощью тройного интеграла.
Пусть функция во всех точках обл. V, тогда интегральная сумма
V – объём области V, ограниченной замкнутой поверхностью S.
Итак
П ример: Найти объём тела, ограниченного координатными плоскостями, плоскостью 2x+3y-6=0 и цилиндром z=
§10 Замена переменных в тройном интеграле.
Общая замена переменных в тройном интеграле.
Пусть функции
взаимно однозначно отображают обл. V в декартовых координатах на обл. V’ в криволинейных координатах .
Тогда
где - якобиан перехода и численно равен определителю третьего порядка
Т ройной интеграл в цилиндрических координатах.
П оложение т. Р в цилиндрических координатах определяется 3мя числами φ, ρ, z, где φ, ρ – полярные координаты проекции т. Р на плоскость xoy, z – аппликата т. Р, т.е. расстояние т. Р от плоскости xoy.
Связь между декартовыми и цилиндрическими координатами:
Якобиан перехода будет равен:
Тогда