3. Тройной интеграл в сферических координатах.

П оложение т. Р в сферических координатах определяется 3^мя числами ,φ,θ, где

- расстояние т. Р от начала координат – радиус-вектор т.

θ – угол между радиус-вектором и осью oz.

φ – угол между проекцией радиус-вектора на плоскость xoy и осью ox.

Для любой точки пространства имеем:

Связь между декартовыми и сферичеcкими координатами:

Якобиан перехода будет равен:

Тогда

Пример 1: Вычислить ,

где – область, ограниченная поверхностями

и

параболоид вращения, ось вращения .

конус, ось симметрии .

Построим эту область.

Л иния пересечения этих поверхностей

окружность

П роще вычислить этот интеграл в цилиндрических координатах.

Пример 2: Вычислить ,

где – область, ограниченная сферой .

Приведём уравнение сферы к каноническому виду:

ц ентр сферы в т.

Удобнее этот интеграл вычислять в сферических координатах.

Уравнение сферы в сферических координатах:

30