Кратные интегралы Двойные интегралы

§1. Задача об оъёме цилиндрического бруса.

Дана функция z=f(x,y)– непрерывная в некоторой замкнутой обл. D пл. XOY. Обл. D ограничена линией l. Функция f(x,y)>0 во всех точках обл. D. Требуется найти объём тела B, ограниченного поверхностью z=f(x,y), плоскостью z=0 и цилиндрической поверхностью, образующие которого параллельны оси OZ, а направляющей служит контур l обл. D. Такое тело называется цилиндрическим брусом.

Разобьём обл. D произвольными линиями на n элементарных частей , , …, , площади которых обозначим теми же символами , , …,

В каждой из площадок выберем произвольно точку , их будет n точек

, , …, .

Вычислим значения функции в этих точках

f( ), f( ), …, f( ).

С

1

оставим сумму произведений вида :

Эта сумма называется интегральной суммой для функции f(x, y) в обл. D.

Так как f(x,y)>0 в обл. D, то – объём цилиндра с основанием и высотой

Для различных разбиений обл. D на части и произвольном выборе точки получим последовательность интегральных сумм:

2

, , … , , …

Эта последовательность возрастает с возрастанием k, но в то же время она ограничена снизу и сверху

где m – наименьшее значение функции f(x, y) в обл. D.

M

2

 наибольшее значение функции f(x, y) в обл. D.

С

1

ледовательно существует предел последовательности интегральных сумм . И этот предел есть объём цилиндрического бруса

При максимальный диаметр площадок

§2. Понятие двойного интеграла.

О

2

1

2

пределение: Если функция f(x,y) непрерывна в замкнутой обл. D, то существует предел последовательности интегральных сумм , при условии что максимальный диаметр площадок стремится к нулю, а . Этот предел один и тот же для любой последовательности вида , то есть он не зависит ни от способов разбиения области D на площадки , ни от выбора точки внутри площадки Этот предел называется двойным интегралом от функции f(x,y) по обл. D и обозначается:

то есть:

max diam

Обл. D называется областью интегрирования.

§3. Свойства двойного интеграла.

1. Постоянный множитель можно выносить за знак двойного интеграла

2. Двойной интеграл от алгебраической суммы нескольких функций равен соответствующей сумме интегралов от этих функций

1-ое и 2-ое свойства легко доказать ссылаясь на определение двойного интеграла

3. Е

   3

   сли обл. D разбить на две обл. и без общих внутренних точек и функция непрерывна во всех точках обл. D, то

Д оказательство:

Р

4

азобьем область D на 2 области и так, чтобы их граница совпала с границей разбиения на площадки .

4

П

3

ереходя в равенстве

к пределу при max , получим равенство .