9.3. Задачи теории статистических решений

Игры с природой.

В рассмотренных выше задачах теории игр предполагалось, что в них принимают участие игроки, интересы которых противоположны.

Поэтому действия каждого игрока направлены на увеличение выигрыша (уменьшение проигрыша).

Однако во многих задачах, приводящих к игровым, неопределенность вызвана отсутствием информации об условиях, в которых осуществляется действие.

Эти условия зависят не от сознательных действий другого игрока, а от объективной действительности, которую принято называть «природой».

Такие игры называются играми с природой.

Человек А в играх с природой старается действовать осмотрительно, используя, например, минимаксную стратегию, позволяющую получить наименьший проигрыш.

Второй игрок В (природа) действует совершенно случай-но, возможные стратегии определяются как ее состояния.

В некоторых задачах для состояний природы может быть задано распределение вероятностей, в других — оно неизвестно.

Условия игры задаются матрицей

А=(a_ij)= .

Элемент a_ij равен выигрышу игрока А, если он использует стратегию А_i, а состояние природы — P_j.

В ряде случаев рассматривают матрицу риска R.

Элементы матрицы риска r_ij представляют собой разность между выигрышем, который получил бы игрок А, если бы знал состояние P_j, и выигрышем, который он получит в тех же условиях, применяя стратегию А_i, т. е.

r_ij =_j - a_{ij ,} где _j = .

Критерии принятия решений.

Рассмотрим ряд критериев, используемых при решении игр с природой.

При известном распределении вероятностей различных состояний природы критерием принятия решения является максимум математического ожидания выигрыша (минимум математического ожидания риска).

Критерий Байеса. Если вероятности состояния природы P_j равны q_j (j=1...n), =1, то выбор i-стратегии обеспечивает математическое ожидание выигрыша, равное .

Принимается решение об использовании стратегии, для которой имеет место

.

Если вопрос распределения вероятностей состояний природы не решен, то используют следующие критерии.

Максиминный критерий Вальда. Этот критерий совпадает с критерием выбора стратегии, позволяющим получить нижнюю цену игры для двух лиц с нулевой суммой

С огласно этому критерию выбирается стратегия, гарантирующая при любых условиях выигрыши, не меньше, чем

К ритерий минимального риска Сэвиджа. Этот критерий рекомендует выбирать в качестве оптимальной ту стратегию, при которой величина риска минимизируется в наихудших условиях, т.е. обеспечивается

Критерии Вальда и Сэвиджа основаны на самой пессимистической оценке обстановки.

Критерий Гурвица является критерием пессимизма-оптимизма.

За оптимальную принимается та стратегия, для которой выполняется соотношение

, где .

При =0 имеем критерий крайнего оптимизма, а при =1 — критерий пессимизма Вальда.

При желании подстраховаться в данной ситуации  принимают близким к единице.

П р и м е р 1.  Найти решении статистической игры, используя несколько различных критериев.

5	2	8	4
2	3	4	12
8	5	3	10
1	4	2	8

Р е ш е н и е.

	B1	B2	B3	B4	
A1	5	2	8	4	2
A2	2	3	4	12	2
A3	8	5	3	10	3
A4	1	4	2	8	1
	8	5	8	12

Согласно критерию Вальда находим, что, поэтому

р ешением данной

матричной игры является стратегия А₃.

Воспользуемся критерием Сэвиджа.

Построим матрицу рисков:

3	3	0	8	8
6	2	4	0	6
0	0	5	2	5
7	1	6	4	7

С огласно критерию Сэвиджа определяем

В соответствии с этим критерием также предполагается решение А₃.

Воспользуемся критерием Гурвица.

Положим =0.5; тогда

т.е. следует принять решение A₂.

Если предположить известным распределение вероятнос-тей для различных состояний природы, например считать эти состояния равновероятными (q₁=q₂=q₃=q₄=1/4), то для принятия решения следует найти математические ожидания выигрыша:

M₁ =

M₂ =

M₃ =

M₄ =

Так как максимальное значение имеет М₃, то следует выбрать решение А₃.

Таким образом, в большинстве случаев критерии указывают на стратегию А₃, поэтому разумно принять именно ее.