9.2. Методы решения конечных игр
Упрощение матричной игры.
Определение оптимальных стратегий и цены игры и составляет процесс нахождения решения игры.
Задача решения игры, если ее матрица не содержит седловой точки, тем сложнее, чем больше значения m и n.
Поэтому в теории матричных игр рассматриваются способы, с помощью которых решение одних игр сводится к решению других, более простых (в частности, с помощью сокращения размерности матрицы).
Сократить размерность матрицы можно, исключая дублирующие и заведомо невыгодные доминирующие стратегии.
Дублирующими называются стратегии, которым соответствуют одинаковые значения элементов в платежной матрице, т.е. матрица содержит одинаковые строки (столбцы).
Если все элементы i-й строки матрицы меньше соответствующих элементов k-й строки, то i-я стратегия для игрока А называется доминирующей.
Если же элементы r-го столбца матрицы не меньше соответствующих элементов j-го столбца, то для игрока B стратегия Br — доминирующая.
Таким образом, при решении игры mn следует:
a) проверить, не содержит ли матрица седловой точки;
б) если седловой точки нет, то нужно сравнить между собой элементы строк и столбцов для исключения дублирующих и доминирующих стратегий.
П р и м е р 2. Исследовать матричную игру и выполнить всевозможные упрощения.
4 |
6 |
3 |
11 |
14 |
-4 |
5 |
8 |
5 |
5 |
8 |
8 |
5 |
12 |
4 |
6 |
Р е ш е н и е. Используя приведенный выше план, определяем, что данная матричная игра не имеет седловой точки (=5, =8).
Далее сравнивая столбцы, можно заметить, что столбец В4 доминируют над столбцом В3, поэтому его можно исключить.
Элементы первой строки меньше элементов второй и третьей, следовательно, ее тоже можно исключить.
После таких упрощений получаем матрицу 33, которую больше упростить нельзя.
|
В1 |
В2 |
В3 |
В4 |
|
А1 |
4 |
6 |
3 |
11 |
4 |
А2 |
14 |
-4 |
5 |
8 |
-4 |
А3 |
5 |
5 |
8 |
8 |
5 |
А4 |
5 |
12 |
4 |
6 |
4 |
|
14 |
12 |
8 |
11 |
|
4 |
6 |
3 |
14 |
-4 |
5 |
5 |
5 |
8 |
5 |
12 |
4 |
14 |
-4 |
5 |
5 |
5 |
8 |
5 |
12 |
4 |
Решение матричной игры размерностью 22.
Наиболее простая матричная игра — это игра, в которой каждый из игроков имеет две стратегии.
Матрица А игры имеет вид
А =
Если седловой точки нет, то решением игры являются смешанные стратегии U=(u1, u2), Z=(z1,z2).
Согласно основной теореме теории игр, применение оптимальной стратегии U=(u1, u2) обеспечивает для игрока А получение выигрыша v при любых стратегиях игрока В.
Оптимальная стратегия для игрока В также смешанная.
Поэтому, если игрок А применяет свою оптимальную стратегию, то при этом игрок В может использовать одну из чистых стратегий, величина выигрыша игрока А останется неизменной.
Запишем систему уравнений
Так как u1+u2 = 1, то решение таково:
u1 = u2= (9.3)
Подставляя значения u1 и u2 в одно из уравнений (2.1), получаем
v = (9.4)
Составляя аналогичную систему уравнений, можно найти оптимальную стратегию для игрока В:
z1 = z2= (3.5)
П р и м е р 3. Найти решение игры, заданной матрицей
А
=
.
Р е ш е н и е. Имеем =1, =2; матрица не имеет седловой точки.
По формулам (2.3 — 2.5) находим оптимальные стратегии и цену игры:
U = (1/3; 2/3), Z = (2/3; 1/3), v = 5/3.