3.3 Плоскость в пространстве
П
усть
в трехмерном пространстве задана
прямоугольная декартова система
координат
Составим уравнение плоскости
проходящей через точку
и перпендикулярной ненулевому вектору
который называется нормальным вектором
(нормалью) к плоскости
Возьмем на плоскости
произвольную точку
(текущую точку) и рассмотрим вектор
Так как
то
откуда получаем уравнение плоскости
(3.11)
Общим уравнением плоскости называется уравнение
где
постоянные. (3.12),
Заметим, что уравнения (3.11) и (3.12) связаны
соотношением
причем
нормаль к плоскости,
заданной уравнением (3.12).
При
имеем плоскость
параллельную
при этом
Аналогично, если
или
то плоскость параллельна
или
Пример 3.10. Построить плоскость:
Р
ешение.
Достаточно построить три точки плоскости
не лежащие на одной прямой. Удобнее
всего брать точки пересечения плоскости
с осями координат: пусть
тогда из уравнения плоскости найдем
т.е.
аналогично
т.е.
т.е.
Построенная плоскость представлена на
рис. 3.8.
Пример 3.11. Построить плоскость
Решение. Т.к.
то достаточно построить прямую, называемую
следом плоскости
на плоскости
и являющуюся линией пересечения этих
плоскостей. След в плоскости
определяется уравнением прямой
которую построим по двум точкам
и
т.е.
Построенная плоскость
представлена на рис. 3.9.
Пример 3.12. Составить уравнение
плоскости, проходящей через начало
координат
перпендикулярно вектору
Решение. Так как
то, согласно (3.11), уравнением плоскости
будет:
или
Пример 3.13. Составить уравнение
плоскости
проходящей через три точки
1-й способ решения. Рассмотрим
и
и возьмем в качестве нормали к
вектор
Поскольку плоскость проходит через
то ее уравнением будет
или
Заметим, что если взять вместо
любую из точек
или
а вместо
любой ему коллинеарный вектор, то в
результате получим то же самое уравнение.
2-й способ решения. Рассмотрим
произвольную точку
плоскости
.
Векторы
и
компланарны, т.к. лежат в плоскости
и значит их смешанное произведение
равно нулю:
Определение. Углом
между двумя плоскостями
и
называется любой из двух смежных
двугранных углов, образованных этими
плоскостями (рис. 3.10).
Заметим, что независимо от выбранных
направлений нормалей
и
к плоскостям, всегда какой-то из смежных
двугранных углов будет равен углу между
этими нормалями, поэтому
(3.13)
Пример 3.14. Найти угол между плоскостями
и
Решение. Возьмем в качестве нормалей
и
Тогда
Взаимное расположение двух плоскостей:
и
1.
плоскости параллельны
2.
плоскости совпадают
3.
плоскости перпендикулярны
Расстояние
от точки
до плоскости
определяется формулой
(3.14)
Пример 3.15. Составить уравнение
плоскости
проходящей через точу
и параллельной плоскости
Найти расстояние
между плоскостями
и
Решение. Так как
то у них общая нормаль
и значит, согласно (3.11), уравнением
будет:
или
В качестве расстояния
можно взять расстояние от точки
до плоскости
