§ 2. Вещественные числа

2.1. Множество R вещественных чисел

Мы будем пользоваться следующими традиционными обозначениями:

N  { 1, 2,  } – множество натуральных чисел

Z  {  , –2, –1, 0, 1, 2,  } – множество целых чисел;

– множество рациональных чисел, т.е., чисел вида , где Z, N.

Всякое натуральное число является целым, всякое целое число является рацио- нальым: N  Z  Q. Всякое рациональное число , поделив числитель на знамена- тель, можно представить единственным образом в виде бесконечной десятичной пери- одической дроби ( конечную десятичную дробь можно рассматривать как бесконечную периодическую, период которой равен 0 ). И обратно, для всякой заданной бесконеч- ной десятичной периодической дроби существует и при том только одно рациональное число такое, что при делении р на q получается заданная десятичная дробь (здесь надо учитывать правило отождествления десятичных дробей с периодом (9) с дробями, имеющими период (0) ; например, 0,5(0) = 0,4(9) , и обе эти дроби являются представ- лениями рационального числа ). Таким образом, множество Q рациональных чисел можно определить как совокупность всевозможных бесконечных десятичных периоди- ческих дробей.

Числа, представленные бесконечными десятичными непериодическими дробя- ми называют иррациональными . Рациональные и иррациональные числа образуют множество вещественных чисел, которое принято обозначать буквой R. Множество R состоит из всевозможных бесконечных десятичных дробей, периодических и неперио- дических.

Подробное изложение свойств множества R можно найти в учебниках [1] и [2].

Удобной геометрической интерпретацией множества R является координатная прямая или числовая ось. Опишем это понятие.

На прямой выберем некоторую точку, обозначим ее через O и назовем началом отсчета. Одно из двух возможных направлений на прямой назовем положительным. Каждой точке M, лежащей на прямой и отличной от точки O, сопоставим веществен- ное число x, которое назовем координатой точки M и которое определим так: если направление вектора совпадает с положительным направлением на прямой, x равно длине вектора : ; если же направление противоположно положительному, то . Координатой точки O назовем число нуль. Таким образом, каждой точке на прямой соответствует ее координата – вещественное число, положительное, отрицательное или нуль, причем несовпадающие точки и имеют, очевидно, различные координаты и , . Верно и обратное: для любого вещественного числа x на прямой существует единственная точка M, коорди- ната которой есть x.

Итак, если каждой точке на прямой поставить в соответствие вещественное чис- ло – координату этой точки, то между множеством всех точек прямой и множеством R вещественных чисел будет установлено взаимно однозначное соответствие. Когда та- кое соответствие установлено, прямую называют координатной прямой или числовой осью. В дальнейшем мы нередко будем называть вещественное число x точкой, имея ввиду возможность геометрической интерпретации этого числа с помощью точки M на числовой оси, координата которой есть x. На чертеже такую точку будем обычно обозначать через x.

2.2 . Промежутки

Пусть a и b – вещественные числа, причем a  b.

Определение 1. Множество чисел , удовлетворяющих нестрогим не- равенствам , называют замкнутым промежутком или сегментом и обознача- ют символом [a; b] : .

Определение 2. Множество чисел , удовлетворяющих строгим нера- венствам , называют открытым промежутком или интервалом и обозначают символом (a; b) :

Если a  b, то содержит только одно число a, а – пустое множе- ство. Кроме замкнутого промежутка и открытого промежутка рассматри- вают и полуоткрытые промежутки и , которые определяют так:

; .

Введенные выше множества называют ограниченными промежутками; числа a и b называют их граничными точками или концами. Мы будем употреблять также символ a; b для обозначения промежутка любого из указанных выше типов с конца- ми a и b.

Пусть a  R. Обозначим:

; ;

; ;

Эти множества чисел будем называть неограниченными промежутками. Множе- ство R также будем считать неограниченным промежутком, обозначая его иногда сим- волом (– ; ).

2.3. Точные грани числового множества

Пусть X – некоторое непустое множество вещественных чисел.

Определение 1. Будем говорить, что множество X ограничено сверху, если можно указать некоторое число A такое, что для всякого x  X справедливо неравен- ство x  A. Число A при этом будем называть верхней гранью множества X.

Определение 2. Будем говорить, что множество X ограничено снизу, если можно указать некоторое число A такое, что для всякого x  X справедливо неравен- ство x  A. Число A при этом будем называть нижней гранью множества X.

Определение 3. Множество X называют ограниченным, если оно ограниче- но и сверху, и снизу.

Если множество X не является ограниченным, его называют неограниченным множеством.

Пример 1. Ограниченный промежуток есть ограниченное множество: для множества a; b число a является его нижней гранью, а число b – верхней гранью.

Пример 2. Пусть , т.е. , где . Так как при всех , то X есть ограниченное множество: число 0 является его нижней гранью, а число 1 – верхней. Любое отрицательное число также является нижней гранью X; любое число, большее единицы, – верхняя грань множества X.

Пример 3. Неограниченный промежуток есть неограниченное множество.

Если число A является верхней гранью множества X, то любое число В, В>A, также является верхней гранью Х. Аналогично, если А – нижняя грань Х , то и любое В, В<A, также есть нижняя грань множества Х.

Определение 4. Пусть X – ограниченное сверху множество. Точной верх- ней гранью множества X называют наименьшую из его верхних граней.

Обозначается это число символами и .

Определение 5. Пусть X – ограниченное снизу множество. Точной нижней гранью множества X называют наибольшую из его нижних граней.

Обозначается это число символами и .

Пример 4. Пусть множество X представляет собой ограниченный промежу- ток a; b, где a  b. Тогда , . В самом деле, число a является нижней гранью множества X, а любое число , , нижней гранью для a; b уже не будет, так как числа, принадлежащие интервалу , принадлежат и a; b, и любое из них меньше . Следовательно, a – наибольшая из нижних граней, т.е. . Аналогично можно показать, что .

Пример 5. Пусть . Число 0 является его нижней гранью, а любое   0 нижней гранью X уже не будет. Действительно, для любого заданного можно подобрать натуральное число так, чтобы выполнялось , значит, для всякого   0 в множестве X можно указать число, меньшее . Отсюда следует : . Очевидно, что .

Точные грани множества могут принадлежать этому множеству, но могут ему и не принадлежать. Так, сегмент [a; b] содержит обе свои точные грани a и b; интер- валу (a; b) не принадлежит ни одна из его точных граней. Множество X примера 5 содержит свою точную верхнюю грань – число 1, но не содержит своей точной ниж- ней грани, числа 0, ибо все числа этого множества положительны.

Пусть . Если принадлежит X, то, очевидно, число является наименьшим в множестве X числом. Если же не принадлежит X, в множестве X нет наименьшего числа, т. е., всякое число, принадлежащее Х , не является наименьшим в этом множестве. Так, число a является точной нижней гранью и наименьшим чис- лом множества X  [a; b], а всякое число, принадлежащее множеству примера 5, не яв- ляется наименьшим в этом множестве.. Аналогично, если число принадле- жит X, то – наибольшее число в множестве X; если же не принадлежит X, в этом множестве наибольшего числа нет.

Пусть множество X не ограничено сверху; это значит, что у этого множества нет верхних граней, поэтому у него нет и точной верхней грани. Тем не менее, условимся говорить в таком случае, что точная верхняя грань множества Х равна  и записы- вать . Аналогично, если множество X не ограничено снизу, будем гово- рить, что его точная нижняя грань равна – и записывать при этом .

2.4. Конечные и бесконечные множества

Элементы множеств, рассматриваемых в этом пункте, не обязательно вещест- венные числа , они могут быть обьектами любой природы.

Множество X, состоящее из одного элемента, из двух элементов, вообще из n, где n – некоторое натуральное число, элементов, называют конечным множеством.

Пусть X – конечное множество, состоящее из n элементов. Перенумеруем принадлежащие X элементы с помощью первых n натуральных чисел (двум различ- ным элементам присваиваются обязательно различные номера). Рассматривая элемен- ты X в порядке возрастания их номеров, мы получим конечную последовательность: , ,  , , состоящую из всех элементов множества.

Множества, не относящиеся к конечным, называют бесконечными. Бесконечным является, например, множество N  {1, 2,  }, поскольку количество содержащихся в нем элементов (натуральных чисел) нельзя выразить каким-либо натуральным числом.

Различают счетные и несчетные бесконечные множества. Бесконечное множест- во X называют счетным, если существует взаимно однозначное отображение множе- ства X на множество N натуральных чисел. Иными словами, бесконечное множество X называют счетным, если все принадлежащие ему элементы можно перенумеровать так, чтобы любым двум различным элементам присваивались обязательно различные номера. Рассматривая элементы счетного множества X в порядке возрастания присво- енных им номеров, получим бесконечную последовательность , ,  , ,  ., составленную из всех элементов множества Х.

Простейшим примером счетного множества является множество N натураль- ных чисел. Счетным является множество Q рациональных чисел ( доказательство можно найти, например, в [1]).

Не всякое бесконечное множество является счетным. Существуют бесконечные множества такие, что перенумеровать все принадлежащие им элементы не удается: ка- ким бы ни был способ присваивания элементам такого множества натуральных номе- ров, всегда часть элементов остается без номеров. Такие множества называют несчет- ными . Допуская вольность речи, о разнице между счетными и несчетными бесконеч- ными множествами можно сказать так: счетное множество содержит столько же эле- ментов, сколько имеется натуральных чисел в множестве N ; несчетное множество содержит “ больше “ элементов, чем имеется чисел в множестве N .

Выше было отмечено, что, перенумеровав элементы счётного множества, можно получить бесконечную последовательность, содержащую все элементы этого множест- ва. Но построить последовательность, содержащую все элементы несчётного множест- ва, невозможно.

Несчетным является множество R всех вещественных чисел ; доказательство этого факта можно найти в [1]. Более того, можно доказать, что любой промежуток с концами a и b , a< b , есть несчетное множество.