Глава 1. Введение в анализ
§ 1. Множества и отображения
1.1 Операции над множествами
Пусть X – некоторое множество (совокупность); природа составляющих его объектов (элементов) значения не имеет. Если x является элементом множества X, записывают x X (следует читать: x принадлежит X), запись x X означает, что x не является элементом X
Пусть X и Y – некоторые множества. Если каждый элемент множества X принадлежит и множеству Y, то X называют подмножеством множества Y, при этом записывают : X Y.
Будем говорить, что множества X и Y равны и записывать при этом X Y, если X и Y состоят из одних и тех же элементов, т.е. если каждый элемент X принадлежит Y (X Y), а каждый элемент Y принадлежит X (Y X).
Объединением
множеств X
и Y
называют множество, состоящее из всех
эле- ментов X
и всех элементов Y;
обозначают такое множество через
.
Пересечением
множеств X
и Y
называют совокупность элементов,
принадле- жащих и множеству X,
и множеству Y;
обозначают такое множество через
.
Разностью множеств X и Y называют множество тех элементов X, которые не принадлежат Y; обозначают такое множество через X \ Y.
X \ Y
Рис. 1.
На рис.1 заштрихованные фигуры изображают объединение, пересечение и раз- ность двух множеств X и Y, представленных прямоугольниками.
Отображения.
Пусть заданы
множества X
и
Y,
и пусть сформулировано правило f
, согласно которому каждому элементу х
Х сопоставлен
некоторый элемент у
Y.
Правило f
называют
отображением множества
Х в множество
Y
, элемент у называют образом
Рис.2.
элемента х при отображении f, а х называют прообразом у при отображении f (рис.2).
Мы будем пользоваться общепринятой символикой:
f : X Y – отображение f множества X в множество Y;
y f (x) – y есть образ элемента x при отображении f;
f (X) – образ множества X при отображении f, т.е. множество тех элемен- тов из Y, которые являются образами элементов из X при отображении f.
Пусть задано
отображение f
: X
Y.
Говорят, что f
отображает X
на Y
взаимно
однозначно,
если 1) Y
f (X),
т.е. каждый элемент множества Y
является образом хотя бы одного элемента
множества X
при отображении f,
и 2) образы различных между собой
элементов множества X
различны, т.е. из
следует
.
Из 1) и 2) следует,
что при взаимно однозначном отображении
f
множества X
на Y
для каждого элемента y
Y
в множестве X
обязательно существует, и притом только
один прообраз. Единственность прообраза
для каждого элемента y
Y
позво- ляет рассматривать отображение
множества Y
в множество
X
, при котором каждому элементу y
Y
сопоставлен его прообраз х,
x
X,
при отображении f.
Такое ото- бражение множества Y
в множество
X
называют обратным по отношению к отобра-
жению f
и обозначают символом
.
Заметим, что обратное отображение
оп- ределено только для взаимно
однозначного отображения f
; отображение
:Y
X
взаимно однозначно отображает Y
на X.
Образ элемента x
при отображении f
яв- ляется прообразом элемента x
при отображении
, т.е. f
есть отображение, обрат- ное по отношению
к отображению
;
f
и
-– это пара взаимно обратных ото-
бражений.