2. Вероятностное пространство

Теперь введем понятие вероятности событий. Вероятность есть числовая функция Р, определяемая на - алгебре F подмножеств множества и удовлетворяющая условиям:

1. 

2. 

3. Если последовательность событий такова, что

.

Тройка называется вероятностным пространством. Таким образом, задание вероятностного пространства есть задание счетно-аддитивной неотрицательной функции Р на алгебре подмножеств множества , такой, что

Дискретным вероятностным пространством называется пространство , в котором множество конечное или счетное: В этом случае состоит из всех подмножеств множества , а вероятностную меру Р достаточно задать на всех элементарных событиях:

.

Элементарные события , входящие в А, называются благоприятствующими появлению события А.

Если то события А и В называются несовместимыми.

Приведем следующие свойства вероятности

1) (Пустое множество 0 представляет невозможное событие. Это свойство следует из равенства и свойств вероятности 2) и 3).

1. .

Имеем Отсюда на основании свойств 2,3 вероятности имеем

Отсюда .

2. Если то .

Имеем . Отсюда на основании свойств 1) и 3) вероятности имеем

. Отсюда заключаем, что .

Замечание. Множество представляет достоверное событие. Вероятность достоверного события равна 1.

3. Теоремы сложения и умножения вероятностей

Теорема 1. Пусть А и В – случайные события.

Тогда Р(А+В) = Р(А) + Р(В) - Р(АВ).

Доказательство. Имеем следующие равенства

А + В = А + (В-АВ) + АВ, В = (В - АВ) + АВ. По свойству 3:

Р(В) = Р(В - АВ) + Р(АВ). Р(А + В) = Р(А) + Р(В - АВ). Из этих соотношений следует требуемое равенство.

Теорема 1 называется теоремой сложения вероятностей (для двух событий). Если же АВ = 0, то Р(А + В) = Р(А) + Р(В).

То есть, вероятность суммы для двух событий равна сумме вероятностей этих событий.

Формула сложения вероятностей для n (n>2) событий имеет вид

.

Если события попарно несовместные

(т.е. ) , то

.

Замечание. Поскольку события

- противоположные,

поэтому

Условная вероятность. Если Р(В)>0, то условной вероятностью P(A/B) события А при условии, что событие В произошло, называется

Отсюда следует следующая

Теорема 2. Пусть Р(А)>0, P(B)>0.

Тогда

P(AB)=P(A)P(B/A)=P(B)P(A/B).

Это равенство называется формулой умножения вероятностей (для двух событий).

Формула умножения вероятностей для n событий записывается так:

пусть такие, что

Тогда

.

4. Независимость событий

1. События А и В называются независимыми, если Р(АВ)=P(А)Р(В).

2. События называются независимыми в совокупности, если для любых исходов

.

3.События называются попарно независимыми, если для любых независимые.

Из попрано независимости не вытекает независимость в совокупности. (Следует ли из попарно независимости событий независимость в совокупности?).

Замечание. Итак, для событий независимых в совокупности согласно определению имеем

.