Работа и энергия

88. При выстреле из пружинного пистолета вертикально вверх пуля массой 20 г поднялась на высоту 5 м. Определить жесткость k пружины пистолета, если она была сжата на 10 см. Массой пружины пренебречь.

89. Комета массой т = 8,38 • 10¹¹ кг сталкивается с Землей, имея относительно нее скорость  = 30 км/ с. 1) Найти энергию E взрыва и выразить ее в единицах тротилового эквивалента (т. е. указать количество тротила, выделяющего при взрыве ту же энергию). Энергия взрыва 1 кг тротила равна W == 4,2 МДж. 2) Оценить диаметр d образующегося при таком взрыве кратера. Обычно диаметр кратера пропорционален кубическому корню из энергии взрыва. Известно также, что взрыв водородной бомбы с тротиловым эквивалентом 1 Мт приводит к образованию кратера диаметром в 1 км.

(1) E = 90 000 Мт; 2) d = 45 км)

90. Рассчитать полную работу А, совершаемую вертолетом массой М, который поднимается на высоту h с ускорением, направленным вверх, и равным 0,10g.

(A = 1,1Mgh)

91. Вычислить работу, совершаемую на пути s = 12 м силой, равномерно возрастающей с пройденным расстоянием, если в начале пути сила F(0) = 10 Н, в конце пути F(s) = 46 H.

(А = 336 Дж)

92. Камень брошен вверх под углом  = 60° к плоскости горизонта. Кинетическая энергия камня в начальный момент Т₀ = 20 Дж. Определить кинетическую Т и потенциальную U энергии камня в высшей точке его траектории.

(Т = 5Дж; U=15Дж)

93. Материальная точка массой m = 2 кг двигалась под действием некоторой силы согласно уравнению s = А + Bt + Ct² + Dt³, где А= 10 м; В =- 2 м/с; С = 1 м/с²; D = -0,2 м/с³. Найти мощность, развиваемую при движении, в моменты времени t₁ =2c и t₂ = 5c.

(N₁ = 0,32 Вт; N₂ = 56 Вт)

94. Ящик массой m₁ = 20 кг соскальзывает по идеально гладкому лотку длиной l = 2 м на неподвижную тележку с песком и застревает в нем. Тележка с песком массой m₂ = 80 кг может свободно (без трения) перемещаться по рельсам в горизонтальном направлении. Определить скорость v тележки с ящиком, если лоток наклонен под углом α = 30 ⁰ к рельсам.

95. Конькобежец массой m₁ = 60 кг, стоя на льду, бросил ядро массой m₂ = 5 кг и вследствие отдачи покатился назад со скоростью ₁ = 1 м/с. Определить работу A, совершаемую при бросании ядра.

(A = 390Дж)

96. Тело массой m₁ = 5 кг ударяется о неподвижное тело массой m₂ = 2,5 кг. Кинетическая энергия этих тел после удара Т = 5 Дж. Считая удар центральным и неупругим, найти кинетическую энергию первого тела до удара.

(T₁ = 7,5Дж)

97. Масса одного автомобиля в 2 раза больше массы другого, а его кинетическая энергия равна половине кинетической энергии второго автомобиля. Когда оба автомобиля увеличили свою скорость на 3 м/с, их кинетическая энергия стала одинаковой. Каковы были начальные скорости каждого из автомобилей?

(₁ = 2,12 м/с; ₂ = 4,24 м/с)

98. Шар массой m испытывает лобовое соударение со вторым шаром (покоившимся до удара) и отлетает от него в противоположную первоначальному движению сторону со скоростью, равной одной трети начальной. Чему равна масса второго шара?

(m₁ = m₂ )

99. Покажите, что в общем случае при любом лобовом одномерном упругом столкновении двух тел скорости после него имеют следующие значения:

где ₁, ₂ - скорости тел до столкновения.

100. Два бильярдных шара с одинаковыми массами движутся под прямым углом друг к другу и сталкиваются в начале системы координат хОу. Первый шар двигался до этого со скоростью 3 м/с вверх вдоль оси Оу, а второй - вправо вдоль оси Ох со скоростью 4,5 м/с. После столкновения второй шар движется вдоль положительного направления оси Оу. В каком направлении движется после соударения первый шар и чему равны при этом скорости обоих шаров?

( )

101. Метеор массой около 10⁸ кг сталкивается с Землей (М = 610²⁴ кг) при скорости около 15 м/с и застревает в толще Земли. 1) Какова скорость «отдачи», полученная Землей? 2) Какая доля кине­тической энергии метеора перешла в кинетическую энергию Земли? 3) На какую величину изменилась кинетическая энергия Земли в результате этого столкновения?

(1)2,510^-16 м/с; 2) 1,710^-17; 3)1,910^-7 Дж)

102. В результате взрыва тело распадается на две части, масса одной из которых в полтора раза больше другой. Какую кинетическую энергию приобретает каждая часть, если в процессе взрыва выделилась энергия 4500 Дж?

(1,8кДж;2,7кДж)

103. В результате полностью неупругого столкновения между двумя телами с одинаковыми массами и одинаковыми скоростями  до столкновения оба тела начинают двигаться со скоростью /3. Чему был равен угол между направлениями их скоростей до столкно­вения?

(141°)

104. Из орудия массой m_l = 5•10³кг вылетает снаряд массой т₂ = 100кг. Кинетическая энергия снаряда при вылете Т₂ = 7,5 МДж. Какую кинетическую энергию получает орудие?

(Т = 150кДж)

105. Два неупругих шара массами m_l = 2 кг и т₂ = 3 кг движутся со скоростями ₁ = 8 м/с и ₂ = 4 м/с соответственно. Найти работу А деформации шаров в двух случаях: 1) меньший шар нагоняет больший; 2) шары движутся навстречу друг другу.

(1)А = 9,6 Дж; 2)А = 86,4 Дж)

106. Под действием постоянной силы F вагонетка прошла путь s = 5 м и приобрела скорость  = 2 м/с. Определить работу А силы, если масса вагонетки т = 400 кг и коэффициент трения  = 0,01.

(A = 996Дж)

107. Лыжник скатывается с холма с нулевой начальной скоростью и проезжает 30 м вниз по склону, составляющему 18° с горизонтом. 1) Чему равна скорость лыжника у подножия холма, если коэффициент трения равен  = 0,08? 2) Если у подножия холма имеется горизонтальная площадка, покрытая снегом с тем же коэффициентом трения, то на какое расстояние по ней укатится лыжник? Используйте энергетические соображения.

108. Тело массой т = 1 кг, брошенное с вышки в горизонтальном направлении со скоростью  = 20 м/с, через t = 3 с упало на землю. Определить кинетическую энергию Т, которую имело тело в момент удара о Землю.

(Г=632Дж)

109. На ракете, находящейся на высоте 6400 км от Земли и удаляющейся от нее со скоростью 1850 м/с, запускаются двигатели, которые выбрасывают газы со скоростью 1200м/с (относительно ракеты). Каков должен быть расход газов (в килограммах в секунду), если масса ракеты к этому моменту достигла значения 25 т, чтобы получить ускорение 1,7 м/с²?

110. Сани, наполненные песком, скользят без трения под уклон 30°. Песок высыпается из отверстия со скоростью 2 кг/с. Если движение начинается из состояния покоя с полной массой 40 кг, то какое время понадобится на то, чтобы сани прошли расстояние 120 м по наклонной плоскости?

(t =7 с)

111. Два груза массами т₁ = 10 кг и m₂ = 15кг подвешены на нитях длиной l = 2 м так, что грузы соприкасаются между собой. Меньший груз был отклонен на угол  = 60° и выпущен. На какую высоту h поднимутся оба груза после удара? Удар грузов считать неупругим.

(h = 16 см)

112. Пуля массой т = 10 г, летевшая со скоростью  = 600 м/с, попала в баллистический маятник массой М = 5 кг и застряла в нем. На какую высоту h, откачнувшись после удара, поднялся маятник?

(h = 7,35 см)

113. Пуля массой 44 г попадает в деревянный брусок массой 15,4 кг на горизонтальной поверхности прямо напротив ствола оружия. Коэффициент трения между бруском и поверхностью  = 0,28. После застревания пули брусок, прежде чем остановиться, проходит расстояние 18м. Найти начальную скорость пули при вылете из ствола.

(3,5 км/с)

114. Частица массой т, движущаяся со скоростью вдоль оси х, внезапно «выстреливает» треть своей массы в направлении оси у со скоростью 2₀. Записать вектор скорости оставшейся части, выразив его через единичные векторы i,j и k.

115. Двухступенчатая ракета массой 940 кг движется со скоростью 6,2•10³ м/с относительно Земли. Затем происходит запланированный взрыв, в результате которого ракета разделяется на две части одинаковой массы, движущиеся с относительной скоростью 2,4•10³ м/с вдоль линии первоначального движения ракеты. 1)Чему равны и как направлены скорости каждой части сразу после взрыва? 2) Какое количество энергии выделилось при взрыве?

1. 7,4 км/с и 5 км/с в первоначальном направлении; 2) 0,68 МДж)

116. В баллистический маятник массой M = 5 кг попала пуля массой т = 10 г и застряла в нем. Найти скорость  пули, если маятник, отклонившись после удара, поднялся на высоту h = 10 см.

( = 700 м/с)

117. Конькобежец массой т₁ = 70 кг, стоя на коньках на льду, бросает в горизонтальном направлении камень массой т₂ = 3 кг со скоростью ₂ = 8 м/с. На какое расстояние s откатится конькобежец, если коэффициент трения коньков о лед  = 0,02?

(s = 0,3 м)

118. Тело массой т₁ = 5 кг ударяется о неподвижное тело массой т₂ = 2,5 кг, которое после удара начинает двигаться и приобретает кинетическую энергию Т₂ = 5 Дж. Считая удар центральным и упругим, найти кинетическую энергию первого тела до и после удара.

(Т₁ = 5,625 Дж; Т₁^/ = 0,625 Дж)

119. На гладком горизонтальном столе находятся две пластмассовые шайбы одинаковых размеров, но различных масс. Одна из них покоится, другая налетает на нее, и между шайбами происходит удар. Каким должен быть этот удар и какими должны быть массы шайб, чтобы налетающая шайба после удара могла сразу остановиться?

(Удар неупругий; m_l < m₂)

120. Определить работу растяжения двух соединенных последовательно пружин жесткостями k₁ = 400 Н/м и k₂ = 250 Н/м, если первая пружина растянулась при этом на l₁ = 2 см.

(A = 0,21Дж)

121. Две пружины жесткостью k_l = 0,5 кН/м и k₂ = l кН/м соединены параллельно. Определить потенциальную энергию U системы при абсолютной деформации l = 4 см. Какая потенциальная энергия запасена при этом в первой пружине, а какая - во второй?

(U₁ = 0,4Дж; U₂ = 0,8Дж; U =1,2Дж)

122. Пружина жесткостью k = 500 Н/м сжата силой F = 100 Н. Определить работу А внешней силы, дополнительно сжимающей пружину еще на l = 2 см.

(A = 2,1Дж)

123. Велосипедист массой m действует на педали со средней силой 0,9mg. Педали велосипеда при вращении описывают окружность радиусом 18 см, радиусы колес равны 34 см, а передняя и задняя звездочки, на которые крепится цепь, имеют 42 и 27 зубцов соответственно. Определить максимальную крутизну горы, на которую велосипедист может выехать с постоянной скоростью. Считать, что масса велосипеда равна 12 кг, а масса велосипедиста - 60 кг. Трением при вращении педалей пренебречь. Предположить, что сила прикладывается к педалям: 1) вертикально вниз; 2) по касательной к окружности, по которой движутся педали.

(1)9,3°; 2) 14,8°)

124. Велосипедист собирается въехать на холм высотой 100 м и уклоном 10°. 1) Считая массу велосипедиста вместе с машиной равной 80 кг, вычислить работу, которую необходимо совершить против силы тяжести. 2) Если при каждом полном обороте педалей велосипед должен продвигаться вперед на 5,1 м, то какую среднюю силу нужно приложить к педалям по касательной к их движению по окружности? Трением при вращении педалей и другими источниками потерь энергии пренебречь. Педали вращаются по окружности диаметром 36 см.

(1)78кДж;2)0,61кН)

125. Какую работу А нужно совершить, чтобы пружину жесткостью k = 800 Н/м, сжатую на l = 6 см, дополнительно сжать еще на x = 8 см?

(А = 6,4 Дж)

126. По небольшому куску мягкого железа, лежащему на наковальне массой m_l = 300 кг, ударяет молот массой т₂ = 8 кг. Определить КПД  удара, если удар неупругий. (Указание: в данном случае полезной считается та энергия, которая идет на деформацию железа.)

( = 97,4%)

127. Определить КПД  неупругого удара бойка массой т₂ = 0,5 т, падающего на сваю массой m₁ = 120 кг. Полезной считать энергию, пошедшую на углубление сваи.

( = 80,6%)

128. Насос должен поднимать 5 кг воды ежесекундно на высоту 4,2 м. Какой должна быть мощность двигателя у насоса?

(3,4 Вт)

129. Вода течет через плотину с расходом 750 кг/с и падает вертикально вниз на 130 м, прежде чем она ударяется о лопатки турбин. Вычислить: 1) скорость воды непосредственно перед соударением с лопатками турбин; 2) скорость, с которой механическая энергия падения передается лопаткам турбин. Считать, что при соударении с лопатками вода теряет 80% своей скорости, причем 12% первоначальной энергии преобразуется в тепловую.

(1)50 м/с; 2) 0,81 МВт)

130. Сила сопротивления движению автомобиля складывается из силы трения, которая почти не зависит от скорости, и силы лобового сопротивления воздуха, которая пропорциональна квадрату скорости. Для грузовика массой т = 1,2 т сила сопротивления дается эмпирической формулой F_conp = 300 + 1,8² (сила выражена в ньютонах, скорость — в м/с).

1). Найти N мощность, развиваемую двигателем при движении с постоянной скоростью  = 80 км/ч, если вся она идет на преодоление сопротивления. Выразить ее в лошадиных силах (1 л. с. = 736 Вт).

2). Какая дополнительная мощность N потребуется для того, что бы грузовик стал ускоряться с а = 0,9 м/с²?

2. N = 35,9 л. с.; 2) N = 32,6 л. с.)

131. Альпинист массой 70 кг взбирается на вершину горы высотой 3120м. Восхождение совершается в течение 4 ч со стартовой площадки, находящейся на высоте 1850 м. Вычислить: 1) работу, совершаемую против силы тяжести; 2) среднюю мощность развиваемую альпинистом в ваттах и лошадиных силах; 3) требуемую скорость поступления энергии, считая, что КПД человеческого организма составляет 15%.

1. 0,87 МДж; 2) 61 Вт; 8, 1 • 10^-2 л. с.; 3) 0,54 л. с.)

132. Велосипедист съезжает с холма, имеющего уклон 6°, с постоянной скоростью 7 км/ч. Считая полную массу велосипедиста вместе с велосипедом равной 75 кг, найти мощность, которую нужно развить велосипедисту для того, чтобы с той же скорость въехать на холм?

(300 Вт)

133. Вода ударяет в лопасти турбины генератора так, что скорость частиц воды после отражения имеет ту же величину, но обратное направление. Если удельный расход воды 60 кг/с, а скорость потока 16 м/с, то чему равна средняя сила, действующая на лопасти?

(1,9 кН)

134. В боровской модели атома водорода электрон удерживается на круговой орбите радиусом R вокруг ядра силой F= - с/ R², где с — постоянная величина. Если электрон переходит с одной круговой орбиты радиусом R = R₀ на другую круговую орбиту радиусом R = n²R₀, где n — целое положительное число (п > 1), то чему будет равно изменение его полной механической энергии?

135. Показать, что: 1) полная механическая энергия спутника массой т, обращающегося по орбите радиусом r вокруг Земли (масса Земли М), определяется выражением

E = -GMm/2r; 2) кинетическая энергия фактически должна возрастать (если только орбита остается круговой), хотя сопротивление атмосферы приводит к постепенному уменьшению Е c течением времени; 3) .

136. С какой скоростью должна быть выброшена с поверхности Солнца частица, чтобы она могла удалиться в бесконечность. Радиус Солнца 6,9510⁸ м, масса Солнца 1,9810³⁰ кг, G = 6,6710^-11 м³/(кгс²).

(  6,1610⁵ м/с)

137. Материальная точка массой 100 г начинает двигаться под действием переменной силы F = 3 t², где F - сила, Н; t - время, с. Найти работу данной силы в интервале времени от 0 до 2 с.

(0,3 кДж)

138. В деревянный кубик массой 1,0 кг, находящийся в покое на горизонтальной поверхности, ударяется стальной шарик массой 10 г, летевший горизонтально со скоростью 100 м/с. Определить, какой путь после неупругого удара пройдёт кубик до остановки, если коэффициент трения равен 0,20. Как изменится результат, если удар будет упругим?

(0,25 м)

139. Человек, масса которого 70 кг, прыгает с неподвижной тележки со скоростью 7 м/с. Определить силу трения тележки о землю, если тележка после толчка остановилась через 5 с. Перед прыжком тележка была неподвижна относительно земли.

(98 Н)

140. Орудие, установленное на железнодорожной платформе, стреляет под углом  к горизонту. Снаряд массой 15 кг вылетает из орудия со скоростью 800 м/с. Вследствие отдачи платформа с орудием покатилась по рельсам со скоростью 0,5 м/с. Масса платформы с орудием 12 т. Определить угол .

(60^о)

141. Шар массой 20 г, движущийся горизонтально с некоторой скоростью ₁, столкнулся с неподвижным шаром массой 40 г. Шары абсолютно упругие, удар прямой, центральный. Какую долю  своей кинетической энергии первый шар передал второму?

(0,89)

142. Груз массой 700 кг падает с высоты 5 м для забивки сваи массой 300 кг. Найти среднюю силу сопротивления грунта, если в результате одного удара свая входит в грунт на глубину 4 см. Удар считать абсолютно неупругим.

(6,1110⁵)

143. Вагон массой т = 20 т, налетев на пружинный буфер, остановился, сжав пружину на x = 10 см. Найти скорость вагона, если жесткость пружины k = 2•10⁶ H/ м.

( = 1 м/с)

144. Трос лифта обрывается, когда лифт массой 750кг находится на высоте 25 м над мощной пружиной (k = 4•10⁴ Н/м), находящейся на дне шахты лифта. Вычислить: 1) работу, совершаемую силой тяжести, действующей на лифт до того, как он ударится о пружину; 2) скорость лифта непосредственно перед соударением с пружиной; 3) величину сжатия пружины. (Заметим, что при этом совершается работа как пружиной, так и силой тяжести.)

(1) 0,18 МДж; 2) 22 м/с; 3) 3,2 м)

145. Пружина с коэффициентом упругости k сжата относительно своего недеформированного состояния на величину x₀. На сколько изменится потенциальная энергия пружины, если ее сжать на величину х относительно недеформированного состояния?

(k(х²-х₀²)/2)

146. Вагон массой т = 35 т движется на упор со скоростью  = 0,2 м/с. При полном торможении вагона буферные пружины сжимаются на x = 12 см. Определить максимальную силу сжатия F_max буферных пружин и продолжительность t торможения. (Указание: принять, что средняя сила торможения равна 2/3 от ее максимального значения.)

F_max = 11,ЗкН; t = 0,9с)

147. Сила, необходимая для сжатия горизонтальной пружины на величину.x, записывается в виде F(x) = 230x + 2,7x³, где х выражается в метрах, a F— в ньютонах. Если пружина была сжата на 2 м, то какую скорость она сообщит (после того, как ее отпустить) помещенному перед ней шарику массой т = 3 кг?

(18м/с)

148. Пуля массой т₁ =10 г вылетает со скоростью и₁ = 300 м/с из дула автоматического пистолета, масса затвора которого т₂ = 200 г. Затвор пистолета прижимается к стволу пружиной, жесткость которой k = 25 кН/ м. На какое расстояние s отойдет затвор после выстрела? Пистолет считать неподвижным.

(s = 4,24 см)

149. Тело массой т подвешено к вертикальной пружине с коэффициентом жесткости k. l) Найти расстояние, на которое тело опустится сразу после его прикрепления к пружине, если оно движется медленно и останавливается в положении равновесия? 2) Если дать телу возможность свободно падать после закрепления, то каково будет максимальное растяжение пружины?

(1) х = mg/k; 2) x_max = 2mg/k)

150. Груз массой т = 3,5 кг скользит по поверхности стола без трения со скоростью  = 8 м/с по направлению к другому (покоящемуся) телу массой M = 6 кг. Ко второму телу прикреплена пру­жина (пренебрежимо малой массы и подчиняющаяся закону Гука с коэффициентом упругости k = 750 Н/м) таким образом, что при соударении обоих грузов она сжимается Каково при этом максимальное сжатие пружины? 2) Чему равны конечные скорости грузов после соударения? 3) Было ли соударение упругим?

(1) 0,43 м; 2) -2,1 м/с; 5,9 м/с; 3) да)

151. Покажите, что при упругом столкновении налетающей частицы массой m₁ с покоящейся частицей-мишенью т₂ угол отклонения (рассеяния)  налетающей частицы: 1) может принимать любые значения от 0 до 180° при т₁ < w₂; 2) максимальное значение угла

_max определяется выражением при m₁ > m_2.

152. При выстреле из пружинного пистолета вертикально вверх пуля массой 40 г поднялась на высоту 2,5 м. Определить, на сколько была сжата пружина перед выстрелом, если жесткость пружины 190Н/м?

(10 см)

153. С какой скоростью должен быть запущен снаряд с поверхности Земли, чтобы он смог удалиться в бесконечность? Радиус Земли 6,3810⁶ м, масса Земли 5,9810²⁴ кг.

(11182 м/с)

154. Автомобиль на горизонтальном участке дороги развивает скорость 108 км/ч, мощность мотора 70 л.с. Определить тяговое усилие, считая его постоянным. 1 л.с. = 735,7 Вт.

(1,7210³ Н)

155. Ракета установлена на поверхности Земли для запуска в вертикальном направлении. При какой минимальной скорости ₁, сообщенной ракете при запуске, она удалится от поверхности на расстояние, равное радиусу Земли (R = 6,3810⁶ м)? Всеми силами, кроме силы гравитационного взаимодействия ракеты и Земли, пренебречь.

(7,910³ м/с)

156. Какая работа А будет совершена силами гравитационного поля при падении на Землю тела массой m = 2 кг: 1) с высоты h = 1000 км; 2) из бесконечности?

157. Пуля, летевшая горизонтально, попадает в шар, подвешенный на легком жестком стержне, и застревает в нем. Масса пули 5 г и масса шара 0,5 Кг. Скорость пули 500 м/с. При какой предельной длине стержня (расстояние от точки подвеса до центра шара) шар после удара поднимется до верхней точки окружности?

(0,6 м)