6 Металлы

6.1 Классическая электронная теория металлов

В основе электронной теории металлов лежит представление об электронном газе, состоящем из свободных электронов. Электронному газу приписываются свойства идеального одноатомного газа.

Исходя из представлений об электронном газе, Друде (1900г) создал классическую теорию металлов, которая была усовершенствована Лоренцом. Основные положения теории Друде:

1). Свободные электроны непрерывно хаотически движутся, причем средняя кинетическая энергия их движения равна . Применяя выводы молекулярно-кинетической теории, можно найти среднюю скорость теплового движения электронов:

. (6.1)

2). Под действием внешнего электрического поля, кроме теплового движения электронов, возникает дрейф электронов. В интервале между столкновениями с узлами кристаллической решетки электроны ускоряются под действием электрического поля и при соударениях передают полученную в электрическом поле энергию кристаллической решетке. В модели Друде, как и в кинетической теории, столкновения – это мгновенные события, внезапно меняющие скорость электрона.

На основе этих представлений можно объяснить ряд свойств металлов.

6.1.1 Закон Ома в дифференциальной форме

1. В промежутке между двумя последующими столкновениями электроны под действием электрического поля движутся с ускорением:

. (6.2)

Максимальная скорость, приобретаемая электроном перед соударением (в конце свободного пробега), равна

, (6.3)

где – среднее время свободного пробега электронов.

Плотность тока можно определить следующим образом:

, (6.4)

где - средняя скорость дрейфа электронов,

тогда

, (6.5)

т.е. плотность тока пропорциональна напряженности электрического поля (выполняется закон Ома). Множитель

(6.6)

представляет собой удельную электропроводность металла.

Если учесть, что дрейфовая скорость электронов значительно меньше, чем скорость их теплового движения, то время свободного пробега электрона

, (6.7)

где - средняя длина свободного пробега электрона.

В классической теории принимается, что равна междуатомному расстоянию в кристалле. Следовательно, можно записать:

. (6.8)

Из формулы (6.8) удельной проводимости следует, что величина должна возрастать пропорционально (так как ). Этот вывод электронной теории противоречит опытным данным, согласно которым удельное сопротивление   T, т.е. . .

6.1.2 Закон Джоуля –Ленца.

К концу свободного пробега электрон под действием поля приобретает кинетическую энергию

. (6.9)

При соударении электрона с атомом эта энергия полностью передается решетке и идет на увеличение внутренней энергии металла, т.е. на его нагрев.

За единицу времени электрон испытывает в среднем столкновений:

. (6.10)

Если n – концентрация электронов, то за единицу времени происходит столкновений и решетке передается энергия , которая идет на нагревание проводника:

, (6.11)

т.е. удельная тепловая мощность   Е². Получен закон Джоуля – Ленца.

6.1.3 Закон Видемана-Франца

Открытый экспериментально, этот закон гласит: отношение коэффициента теплопроводности металла к его удельной проводимости для всех металлов одинаково при одинаковой температуре:

, (6.12)

где - определяемый экспериментально коэффициент, не зависящий от рода металла.

Если предположить, что теплопроводность металла осуществляется свободными электронами, то коэффициент теплопроводности электронного газа представим в виде:

, (6.13)

где – теплоемкость единицы объема газа.

Тогда

. (6.14)

Полученное в классической электронной теории значение неплохо согласуется с опытными данными. Однако, как оказалось впоследствии, это согласие случайно. Лоренц, применив к электронному газу статистику Максвелла-Больцмана, учтя тем самым распределение электронов по скоростям, получил что привело к расхождению теории с опытом.

6.1.4 Оценка средней длины свободного пробега электронов в металлах

Чтобы получить , совпадающее с опытными данными, необходимо принимать значительно больше истинных, т.е. необходимо предполагать, что электрон проходит без соударений с атомами решетки сотни междоузельных расстояний, что не согласуется с теорией Друде.

6.1.5 Теплоемкость металлов

Согласно представлениям электронной теории свободные электроны обмениваются энергией при соударениях с кристаллической решеткой, и поэтому атомная теплоемкость металла должна складываться из теплоемкости кристаллической решетки и теплоемкости электронного газа :

. (6.15)

При высоких температурах теплоемкость кристаллической решетки по закону Дюлонга и Пти равна (для 1 моля):

. (6.16)

Принимая, что число свободных электронов в металле равно числу атомов и что электроны обладают тремя степенями свободы, находим

, (6.17)

Следовательно

. (6.18)

Однако, опыт показывает, что теплоемкость (6.18) близка к , т.е. существенно не отличается от теплоемкости диэлектриков. Электронная теория металлов никак не объясняет и зависимость теплоемкости металлов от температуры.

Ограниченность классической электронной теории металлов является следствием того, что она рассматривает свободные электроны как классические частицы, а совокупность их, электронный газ – как классический идеальный газ.