Примеры булевых функций

1. Функции одной переменной. Их число: .

0	0	0	1	1
1	0	1	0	1

Приведем обозначения и названия этих функций:

	Обозначение	Название	Прочтение
	0	константа 0	«ноль»
		тождественная функция	« »
	,	отрицание	«не »
	1	константа 1	«единица»

2. Функции двух переменных. Их число: .

0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	1	1	1	1	1	1	1	1
0	1	0	0	0	0	1	1	1	1	0	0	0	0	1	1	1	1
1	0	0	0	1	1	0	0	1	1	0	0	1	1	0	0	1	1
1	1	0	1	0	1	0	1	0	1	0	1	0	1	0	1	0	1

Приведем обозначения и названия некоторых функций:

	Обозначение	Название	Прочтение
	, ,	конъюнкция	« и »
		сложение по модулю 2	« плюс »
		дизъюнкция	« или »
		стрелка Пирса	«не или »
		эквивалентность	« эквивалентно »
		импликация	« имплицирует »
		штрих Шеффера	«не и »

Функции одной переменной и «именные» функции двух переменных называют основными элементарными функциями. Используемые для их обозначения символы называют логическими связками ( - одноместной, остальные – двуместными).

Обратите внимание на следующее обстоятельство: есть булевы функции, которые не меняют своих значений при изменении значений некоторых из своих переменных. Например, для функции имеем: и , т.е. значение переменной не влияет на значение этой функции. А на значения функции не влияет значение переменной : и . В связи с этим введем понятие фиктивной переменной. Формально оно звучит так.

Определение. Переменная называется фиктивной переменной функции , если для всех значений переменных выполняются равенства .

В противном случае переменная называется существенной.

Упражнение 2.6. Сформулировать определение существенной переменной.

◄ Переменная называется существенной переменной функции , если найдется такой набор значений переменных , что .►

Опыт показывает, что определения лучше усваиваются, если их переформулировать применительно к каким-нибудь частным случаям. Например: переменная называется фиктивной переменной функции , если выполняются четыре равенства , , , . Или: переменная называется существенной переменной для функции , если хотя бы одно равенств , , , не выполняется.

Упражнение 2.7. Указать существенные и фиктивные переменные функции:

0	0	0
0	1	0
1	0	1
1	1	1

а) ; б) ; в) .

◄ а) : , следовательно, - существенная;

: и , следовательно, - фиктивная.

0	0	0	1
0	0	1	1
0	1	0	0
0	1	1	1
1	0	0	1
1	0	1	1
1	1	0	0
1	1	1	1

б) : , ,

, , следовательно, - фиктивная.

: , следовательно, - существенная.

: , , следовательно, - существенная.

в) решить самостоятельно.►

Операция удаления (введения) фиктивных переменных. Пусть для функции переменная является фиктивной. Возьмем таблицу истинности функции . Вычеркнем из нее все строки, в которых , а также вычеркнем столбец переменной . Полученная таким образом таблица будет задавать некоторую функцию , причем на любом наборе значений переменных для функций и выполнено равенство . Про функцию говорят, что она получена из функции путем удаления фиктивной переменной, а про функцию говорят, что она получена из путем введения фиктивной переменной.

Определение. Функции и называются равными, если функцию можно получить из функции путем введения или удаления фиктивных аргументов.

Упражнение 2.8. Найти функции, равные данным и существенно зависящие от всех своих аргументов:

а) ; б) .

v
0	0	0	0	0	1
1	0	0	0	1	1
2	0	0	1	0	0
3	0	0	1	1	0
4	0	1	0	0	0
5	0	1	0	1	0
6	0	1	1	0	1
7	0	1	1	1	1
8	1	0	0	0	1
9	1	0	0	1	1
10	1	0	1	0	0
11	1	0	1	1	0
12	1	1	0	0	0
13	1	1	0	1	0
14	1	1	1	0	1
15	1	1	1	1	1

◄ а) Сначала выясним, какие из аргументов функции фиктивные. Для удобства рассуждений дополним таблицу истинности функции столбцом номеров булевых векторов.

Чтобы выяснить, является переменная фиктивной или существенной, нужно сравнить значения функции на парах векторов, отличающихся лишь значениями переменной . Такие пары образуют вектора с номерами 0 и 8, 1 и 9, 2 и 10, …, 7 и 15. Так как сравниваемые значения одинаковы, переменная фиктивная.

Теперь сравниваем значения функции на парах векторов, отличающихся лишь значениями переменной (эти вектора имеют номера 0 и 4, 1 и 5, 2 и 6, 3 и 7, 8 и 12,…, 11 и 15). Имеем , следовательно, - существенная переменная.

Сравниваем значения функции на парах векторов, отличающихся лишь значениями переменной (эти вектора имеют номера 0 и 2, 1 и 3, 4 и 6, 5 и 7, …, 13 и 15). Имеем , следовательно, - существенная переменная.

0	0	1
0	1	0
1	0	0
1	1	1

И наконец, сравниваем значения функции на парах векторов, отличающихся лишь значениями переменной ( они имеют номера 0 и 1, 2 и 3, 4 и 5, …, 14 и 15). Поскольку сравниваемые значения одинаковы, то переменная - фиктивная.

Вычеркиваем из таблицы истинности функции строки и столбцы, закрашенные серым цветом, получаем таблицу истинности для функции . Функции и равны, и функция - существенно зависит от всех своих аргументов.

б) решить самостоятельно.►

Замечания. 1. Далее, если число переменных специально не оговаривается, функции рассматриваются с точностью до фиктивных переменных, т.е. предполагается, что с заданием некоторой функции заданы все равные ей функции, и для обозначения равных функций используется один и тот же функциональный символ.

2. В дальнейшем при рассмотрении любой системы функций предполагается (если не оговорено противное), что все функции данной системы зависят от одного числа переменных. Такой подход позволяет избежать громоздких рассуждений.