14.Внешняя мера и ее св-ва

Пусть есть мн-во AK, К—алгебра.

Определение. Счетным покрытием множества называется семейство непересекающихся мн-в , таких, что .

Пример.

Пусть , тогда .

Определение. Пусть – произвольное множество, и пусть – алгебра, т.е. , на которой задана аддитивная мера . Тогда внешней мерой множества называется число

.

Отображение называется внешней мерой.

Определение. Множество называется измеримым, если для

- множество измеримых множеств.Отметим, что явл метрикой , т.е.

Любое множество из является измеримым, т.е. если , то оно измеримо.

Доказательство.

Мера наз-ся внешней мерой Лебега на и обозначается .

Упорядоченная тройка (Х, ,) наз-ся пространством с мерой.

Если (Х)=1, то пр-во с мерой наз-ся вероятностным пр-вом. Эл-ты Х –элементарные события, Эл-ты -события.

15.Ступенчатые ф-ции

Ф-ция f:XR-ф-ция заданная на Х.

Ф-ция f, заданная на Х, наз-ся ступенчатой ф-цией, если она принимает не более чем счетное число значений причем прообраз явл-ся измеримым мн-вом для любого n.

Пример. Рассмотрим функцию Дирихле

--измеримо

--также измеримо.

Т.обр ф-ция Дирихле ступенчатая.

Пусть

Примером ступенчатой функции являются характеристические функции .

Совокупность всех ступенчатых функций будем обозначать .

Свойства ступенчатых функций.

1. Произведение любого числа на ступенчатую функцию есть ступенчатая функция, т.е.

2. Сумма двух ступенчатых функций является ступенчатой функцией, т.е. .

Доказательство этого очевидно, т.к. если , где и - измеримые множества.

.

.

3. St-векторное пр-во, т.к. выдерживает векторные операции 1.и2.

4. Произведение ступенчатых функций является ступенчатой функцией, т.е.

Доказательство аналогично доказательству свойства 2.

.

Отметим, что функция, равная тождественно константе, является ступенчатой.

Из свойств 1 – 4 получаем, что совокупность всех ступенчатых функций является алгеброй над полем .

5. St – алгебра. Она содержит единицу, т.е. 1(х)=1 , xX  1 St, g.f = f.g, т.е. имеет место коммутативность,  St – коммутативная алгебра с единицей.(но St не явл. полем)

16.Интеграл от ступенчатой ф-ции

Определение. Ступенчатая функция называется интегрируемой, если ряд , т.е. сходится.

Это означает абсолютную сходимость ряда .

Если ступенчатая функция интегрируема, то модуль ее интегрируем.

- множество интегрируемых ступенчатых функций.

Свойства интегрируемых ступенчатых функций.

1. Произведение любого числа на интегрируемую ступенчатую функцию есть интегрируемая ступенчатая функция, т.е.

.

2. Сумма двух интегрируемых ступенчатых функций является интегрируемой ступенчатой функцией, т.е. .

Действительно,

3. Линейная комбинация интегрируемых ступенчатых функций является интегрируемой ступенчатой функцией, т.е.

.

Это свойство значит, что совокупность всех интегрируемых ступенчатых функций образует векторное (линейное) пространство над полем .