Ответы.

I вариант.	II вариант.
№3. Возрастает и ограничена.	№3. Убывает и ограничена.
№4. а) ; б) .	№4. а) ; б) .

3. Новый материал. Перейдем к понятию предела последовательности.

Определение. e – окрестностью числа а, где e > 0 называется (а – e; а + e) – показать.

Рассмотрим изображение последовательности а_n = на координатной прямой. Вопросы:

1) Как изменяется расстояние от а_n до 0 по мере возрастания n? [Уменьшается]

2) Существует ли окрестность числа 0, содержащая конечное количество членов последовательности? [Нет] Вывод? [Внутри любой окрестности нуля находится бесконечно много членов этой последовательности]

3) Существует ли окрестность числа 0, содержащая все члены последовательности, начиная: а) с третьего; б) с одиннадцатого; в ) с сотого? Если существует, то укажите ее. [Существует, а) e = 0,5; б) e = 0,1; в) e = ]

4) Какие члены последовательности лежат в e – окрестности нуля, если e = ; 0,001? [Начиная с пятого; начиная с 1001 – го]

5) Можно ли для произвольного e указать номер, начиная с которого все члены последовательности лежат в e – окрестности нуля? [Да, |а_n| < e Û Û ; начиная с N = ]

Определение. Число а называется пределом последовательности а_n, если для любой e – окрестности этого числа найдется номер N’, начиная с которого все члены (а_n) лежат в этой окрестности.

Для каждого e – свое значение N’!

Хорошей моделью понятия предела последовательности является последовательность выбиваемых очков при стрельбе по мишени, если хороший стрелок «пристреливает» оружие: для любого круга с центром в «яблочке» найдется номер выстрела, начиная с которого все пули укладываются в этот круг.

Рассмотрим изображение последовательности b_n = на координатной плоскости. Имеет ли она предел? Какой? Обоснуйте. [b = 2, так как для любой горизонтальной полосы с осью симметрии b_n = 2 найдется номер N, начиная с которого все члены последовательности лежат в этой полосе (показать)]

Как записать в виде неравенства, что a_n лежит в e – окрестности числа а (в соответствующей горизонтальной полосе)? [a – e < a_n < a + e Û |a_n – a| < e]

Таким образом определение предела последовательности можно формализовать, введя некоторые обозначения: a = a_n Û "e > 0 $N | "n > N выполняется неравенство |a_n – a| < e.

Запись определения в таком виде удобна для проведения доказательства того, что выбранное число является пределом данной последовательности.

Докажем, что = 2. Это означает, что "e > 0 $N | "n > N выполняется неравенство | – 2| < e Û Û , то есть, "e > 0 $N = | "n > N выполняется требуемое неравенство.

4. Письменно (самостоятельно в тетрадях с проверкой на доске; записи!):

1) Докажите по определению, что .

[ Û Û ; N = ]

2) Докажите, что [От противного; Û Û n²(6e – 1) > 2 – неверно, например, при e = 0,1]

Сформулируйте, что значит данное число не является пределом данной последовательности [a ¹ a_n Û $e > 0 | "N $n > N, для которого выполняется неравенство |a_n – a| ³ e] Это определение дает другой способ доказательства того, что данное число не является пределом данной последовательности!

Домашнее задание: Выучите два определения предела последовательности. 1) Доп. к с/р. 2) Докажите по определению, что x_n = n³ не ограничена. 3) Докажите по определению: а) с = c; б) = 0; в) . Для любой из последовательностей б) или в) выберите другое число и докажите по определению, что оно не является пределом.

Урок 104, 105	3.02.
Сходящиеся и расходящиеся последовательности. Теорема о единственности предела. Бесконечные пределы.

1. Разбор с/р.

2. Проверка д/з: вопросы? 2) [n³ > M выполняется при n = [ ] + 1]. 3) [а) все члены последовательности лежат в любой e – окрестности числа с; б) N = ; в) N = ]

3. Устно: 1) Пользуясь изображением последовательности на числовой прямой (крупно на доске) объясните, почему ее пределом: а) является число 0; б) не является число 0,1 [а) для любой окрестности нуля найдется номер, начиная с которого все члены последовательности лежат в этой окрестности; б) существует окрестность числа 0,1 (например, e = 0,05) такая, что вне ее находится бесконечное количество членов последовательности, то есть, существуют сколь угодно большие n такие, что с_n лежит вне этой окрестности]

2) Объясните, почему в определении предела нельзя переставить местами "e > 0 и $N. [N зависит от e; например, б) или в) из домашней работы (для последовательности а) это не существенно!)]

Определение. Если предел последовательности существует и равен какому-либо действительному числу, то последовательность называется сходящейся. В противном случае она называется расходящейся.

4. Письменно (на доске и в тетрадях; записи!):

1) Докажите, что последовательность сходится [Докажем, что a_n = 0, то есть ... . Û . Так как 2 + (–1)ⁿ £ 3, то требуемое неравенство выполняется, если выполняется неравенство Û , то есть, N = ]

2) Является ли сходящейся последовательность ? [Да. Докажем, что b_n = 0, то есть ... . Û n(en – 1) > 1 – e. Пусть en – 1 > 0 Û . Найдем, при каких значениях n en – 1 > 1 – e Û . Тогда, если , то "n > N n(en – 1) > en – 1 > 1 – e, то есть, выполняется требуемое неравенство]

3) А) Является ли сходящейся последовательность ? [Нет] Б) Объясните это по ее изображению на координатной плоскости (на доске) [Для любого числа а найдется его окрестность такая, что бесконечное количество членов последовательности лежат вне ее, то есть, существуют сколь угодно большие n такие, что x_n лежит вне этой окрестности]

В) Докажите это строго по определению [От противного, пусть (2n – 1) = a, тогда ... |2n – 1 – a| < e Û , тогда, например, при n > N = [a + 1 + e] неравенство не выполняется]

4) Как формализовать определение расходящейся последовательности?

[(a_n) – расходится Û "aÎR $e > 0 | "N $n > N, для которого выполняется неравенство |a_n – a| ³ e]

5) Докажите, что (x_n) – расходится, используя это определение [$e > 0 | "N $n > N, для которого выполняется неравенство |2n – 1 – a| ³ e Û , то есть, из первого неравенства следует, что "N такое n найдется (в данном случае при любом e, например, e = 0,5!)]

5. Новый материал. Помимо определений, удобно иметь другие возможности для доказательства того, что последовательности сходятся или расходятся.

Теорема. Любая сходящаяся последовательность имеет единственный предел.

Суть теоремы и идея доказательства: от противного, пусть есть хотя бы два предела, тогда можно взять их окрестности так, чтобы они не пересекались (изобразить на числовой прямой) и с какого бы номера мы ни начали, в обе окрестности не попадет бесконечное количество членов последовательности.

Доказательство. Пусть (x_n) имеет более одного предела, то есть:

x_n = a Û "e₁ > 0 $N₁ | "n > N₁ выполняется неравенство |x_n – a| < e₁ и

x_n = b Û "e₂ > 0 $N₂ | "n > N₂ выполняется неравенство |x_n – b| < e₂.

Рассмотрим N = max(N₁; N₂), тогда "n > N выполняются оба неравенства. Следовательно, |a – b| = |(a – x_n) + (x_n – b)| £ |x_n – a| + |x_n – b| < e₁ + e₂ = e, если e₁ = e₂ = 0,5e. Так как "e > 0 |a – b| < e, то а = b, то есть, предел – единственный, ч. т. д.

Пример. Докажем, что x_n = (–1)ⁿ – расходится.

1) Пусть x_n = a ¹ ±1, тогда существует окрестность числа а, не содержащая ни одного члена последовательности. 2) В любой окрестности как числа 1, так и числа –1 содержится бесконечно много членов x_n, но так как предел – единственный, то его не существует.

Есть ли разница в том, как расходятся последовательности 2n – 1 и (–1)ⁿ? В чем? [Первая стремится к бесконечности, а вторая – ни к чему не стремится] Приведите еще примеры последовательностей каждого типа [–n² и cosn]. О последовательностях первого типа говорят, что они расходятся, но имеют бесконечный предел.

Определение. 1) a_n = +µ Û "M > 0 $N | "n > N выполняется неравенство a_n > M.

2) a_n = –µ Û "M > 0 $N | "n > N выполняется неравенство a_n < –M.

В чем разница между определениями неограниченности сверху или снизу и соответствующими определениями бесконечных пределов? [Для неограниченности $n, а для предела – "n > N]

Докажите, что (–n²) = –µ [–n² < –M Û n > ; N = [ ]

Домашнее задание: Выучите определения: сходящейся и расходящейся последовательности; бесконечных пределов и теорему о единственности предела. Повторите неравенство Бернулли (В.: стр. 47). Докажите по определению, что: 1) = 0 (kÎN); 2) ; 3) a_n = – сходится; 4) b_n = – сходится; 5) c_n = – расходится, но имеет бесконечный предел. В.: №199; 200.

Урок 106, 107	4.02.
Необходимое условие сходимости. Теорема о предельном переходе в неравенствах. Пределы избранных последовательностей.

1. Проверка д/з: вопросы?

2. Устно: 1) Р Þ Q. Сформулируйте это утверждение в терминах: а) необходимое; б) достаточное условие. Приведите примеры.

2) Сформулируйте определение ограниченной последовательности (записать на доске).

3) Сформулируйте определение предела последовательности (записать на доске).

4) Как записывается неравенство Бернулли? [при а ³ –1 "nÎN (1 + а)ⁿ ³ 1 + na (записать на доске)]

5) Существует ли ограниченная последовательность, не имеющая предела? [Да, например, (–1)ⁿ]

6) Существует ли сходящаяся последовательность, которая не ограничена? [Нет]

3. Новый материал. Этот важный факт выражен отдельной теоремой.

Теорема. Любая сходящаяся последовательность ограничена.

Доказательство. Пусть (x_n) – сходится, то есть, x_n = a Û "e > 0 $N | "n > N выполняется неравенство |x_n – a| < e. Таким образом, x_nÎ(а – e; а + e) (см. рис.). Выберем М₁ = max(|a – e|; |a + e|), тогда "n > N |x_n| < М₁. Рассмотрим остальные члены последовательности: x₁; x₂; ...; x_N. Среди них существует наибольший член, равный М₂ и наименьший член, равный М₃. Если М = max(|M₁|; |M₂|; |M₃|), то "nÎN |x_n| £ М, то есть, (x_n) – ограничена, ч. т. д.

Таким образом, ограниченность последовательности является необходимым условием ее сходимости.

Как можно применять эту теорему? [Для доказательства того, что последовательность расходится, например, мы доказывали, что c_n = – не ограничена, следовательно, она расходится]

Известно, что последовательность имеет бесконечный предел. Что можно сказать о ее ограниченности? [если он равен +µ, то она не ограничена сверху, а если –µ, то снизу]

Как связаны неограниченность последовательности и наличие бесконечного предела? [Неограниченность последовательности является необходимым условием наличия бесконечного предела] Почему оно не является достаточным? [(–1)ⁿn – не ограничена и не имеет предела]

Докажем несколько фундаментальных фактов теории пределов.

1) Дано: a_n = a; b_n = b. "n > N₀ a_n £ b_n. Доказать: a £ b.

Идея доказательства: от противного, пусть это не так, тогда рассмотрим непересекающиеся окрестности чисел а и b и получим противоречие с последним условием (см. рис).

Доказательство. Пусть а > b, тогда . Рассмотрим e = , тогда

a_n = a Û "e > 0 $N₁ | "n > N₁ выполняется неравенство |a_n – a| < e = и

b_n = b Û "e > 0 $N₂ | "n > N₂ выполняется неравенство |b_n – b| < e = . Рассмотрим N = max(N₀; N₁; N₂), тогда "n > N выполняются оба неравенства, в частности, a_n > a – e = и b_n < b + e = . Поэтому, "n > N a_n > b_n – противоречие. Следовательно, a £ b, ч. т. д.

Доказанное утверждение называют теоремой о предельном переходе в неравенствах. Как ее можно применять?

[Использовать известные пределы последовательностей для обоснования пределов других последовательностей, если они существуют!]

Пример. Докажем, что = 0, если принять, что он существует (будет доказано позже, когда будет рассматриваться достаточное условие сходимости). Действительно, "n > 2 0 < £ Û n³ £ 3ⁿ. Докажем последнее неравенство (индукция). При n = 3 – равенство. При n = k + 1 3^{k + 1} = 3^k×3 ³ 3k³; 3k³ ³ (k + 1)³ Û . Последнее неравенство выполняется, так как при k ³ 3 .

Следовательно, 0 £ £ = 0, то есть, = 0, ч. т. д.

2) Если а > 0, то = 1.

Доказательство. Докажем, что "e > 0 $N | "n > N выполняется неравенство | – 1| < e.

А) Если а > 1, то – 1 > 0 и неравенство примет вид: – 1 < e Û а < (1 + e)ⁿ. Так как e > 0, то по неравенству Бернулли (1 + e)ⁿ ³ 1 + ne > a при n > , то есть, "n > N = требуемое неравенство выполняется.

Б) Если а = 1, то – 1 = 0 и требуемое неравенство выполняется "nÎN.

В) Если 0 < а < 1, то b = > 1. Из А) следует, что = 1, значит, | – 1| = = < | – 1| < e при n > N = = .

Таким образом, утверждение доказано "а > 0.

Пример. = = 1.

3) Если |q| < 1, то qⁿ = 0.

Доказательство. Докажем, что "e > 0 $N | "n > N выполняется неравенство |qⁿ – 0| < e.

А) Если 0 < q < 1, то 0 < qⁿ < 1 и неравенство примет вид: qⁿ < e Û . Пусть , тогда Þ . По неравенству Бернулли = (1 + a)ⁿ ³ 1 + na > при n > N = = .

Б) Если q = 0, то неравенство выполняется "nÎN.

В) Если –1 < q < 0, то обозначим р = –q, тогда 0 < p < 1. Из А) следует, что pⁿ = 0. |qⁿ| = |pⁿ| < e при n > N = .

Таким образом, утверждение доказано "q |q| < 1.

Где применяется доказанное утверждение? [Формула суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии]

Действительно, если |q| < 1, то S = S_n = = .

Формально здесь также применяются теоремы о вычислении пределов, которые мы рассмотрим на следующем уроке.

Домашнее задание: теория – по тетради; докажите, что: 1) = 0; 2) x_n = – сходится; 3) a_n = 2n + 3 – не ограничена, расходится, но имеет бесконечный предел; 4) b_n = (–1)ⁿ×n – не ограничена, расходится и не имеет бесконечного предела; 5) = 1.

Урок 108, 109	6.02.
Теоремы о вычислении пределов.

1. Проверка д/з: вопросы? 3) и 4) – в каком порядке доказывали? [А) Можно по определению доказать, что последовательность не ограничена, из чего следует, что она расходится, а затем по определению доказывать существование или отсутствие бесконечного предела. Б) Можно сначала доказать по определению существование или отсутствие бесконечного предела, из чего сделать вывод о сходимости и ограниченности]

2. Новый материал. Пусть требуется найти . Угадывать и доказывать по определению – долго и сложно! Поэтому, вычисление таких пределов сводят к вычислению более простых, используя теоремы о вычислении пределов, которые мы сформулируем и докажем.

Теоремы. Пусть x_n = a; y_n = b. Тогда:

1) (x_n + y_n) = a + b; 2) (x_ny_n) = ab; 3) = (b ¹ 0).

Сформулируйте записанные утверждения (в полной и в краткой формах). Докажем их.

Доказательство. x_n = a Û "e₁ > 0 $N₁ | "n > N₁ выполняется неравенство |x_n – a| < e₁;

y_n = b Û "e₂ > 0 $N₂ | "n > N₂ выполняется неравенство |y_n – b| < e₂.

Пусть N = max(N₁; N₂), тогда "n > N выполняются оба неравенства.

1) "n > N |(x_n + y_n) – (а + b)| = |(x_n – а) + (y_n – b)| £ |x_n – a| + |y_n – b| < e₁ + e₂ = e, если e₁ = e₂ = 0,5e. Таким образом, (x_n + y_n) = a + b, ч. т. д.

2) "n > N |x_ny_n – аb| = |(x_ny_n – ay_n) + (ay_n – аb)| £ |y_n(x_n – a)| + |a(y_n – b)| = |y_n|×|x_n – a| + |a|×|y_n – b| £ M×|x_n – a| + |a|×|y_n – b| £ K(|x_n – a| + |y_n – b|) £ K(e₁ + e₂) = = e, где |y_n| £ M, так как (y_n) – сходится, следовательно, она ограничена; K = max(M; |a|); e₁ = e₂ = .

3) По сути не сильно отличается от доказательства 2), но есть некоторые технические трудности – д/з.

Следствия. Из 2): сx_n = с× x_n = с× x_n = ca. Сформулируйте.

Из 1) и 2): (x_n – y_n) = (x_n + (– y_n)) = x_n + (– y_n) = x_n – y_n = a – b. Сформулируйте.

Обобщения 1) и 2). и .

Доказательство – метод математической индукции (д/з – по вариантам).

Вернемся к рассматриваемому примеру: можно ли сразу использовать теорему 3? [Нет, так как пределы числителя и знаменателя не существуют] Как вычислить предел? [ = ... = = ... = –0,8]

3. Письменно (самостоятельно в тетрадях с проверкой на доске; записи!):

Вычислите пределы: 1) [–3]; 2) [... = = 3]

3) [1,5³⁰]; Почему = ( )^k? [Обобщение теоремы 2];

4) [... = = ];

5) [... = –3 + 3 = 0];

6) [... = = ... = 2,5];

Почему = ? [Теорема о композиции пределов, которая позже будет доказана для функций и распространена на последовательности].

Домашнее задание: выучите теоремы о пределах, их следствия и обобщения (обобщения 1 и 2 – по вариантам; доказательство теоремы 3); вычислите: 1) ; 2) ; 3) ; 4) .

Урок 110	10.02.
Теорема Вейерштрасса.

1. Проверка д/з: вопросы? 1) [–1,5]; 2) [–5]; 3) [ ]; 4) [0].

2. Устно: 1) Вычислите пределы и объясните, какие теоремы применяли:

а) [1; теоремы о пределе частного и пределе суммы; предел постоянной последовательности; qⁿ, где |q| < 1];

б) [–2; теоремы о пределе частного и пределе суммы; предел постоянной последовательности; , где а > 0];

в) [0; ].

2) Известно, что а) сумма; б) произведение; в) частное двух последовательностей (x_n) и (y_n) сходится. Верно ли, что каждое из слагаемых – сходится? Обоснуйте [Нет, например, а) x_n = n; y_n = 1 – n; б), в) x_n = y_n = (–1)ⁿ]

3. Новый материал. Исследуем вопрос о связи между монотонностью, ограниченностью и сходимостью последовательности. Составим таблицу.

Сходимость	Ограниченность	Монотонность	Примеры
+	+	+ –	;
µ	–	+ –	n;
–	+ –	–	(–1)n; (–1)n×n

Почему нет других случаев? Потому, что монотонность и ограниченность последовательности является достаточным условием для ее сходимости.

Теорема Вейерштрасса. Если последовательность монотонна и ограничена, то она сходится.

Схема доказательства. Пусть (x_n) – ограничена и, например, возрастает. Тогда $M > 0 | "nÎN | |x_n| £ M и "nÎN x_{n + 1} > x_n (см. рис.). Рассмотрим [x₁; M] и разделим его пополам точкой M₁ = . Возможны два случая: