Правило 8. Сложение.

При сложении двух чисел в системе счисления с основанием q необходимо записать их столбиком одно над другим так, чтобы соответствующие разряды одного слагаемого располагался под соответствующими разрядами другого слагаемого. Сложение производится поразрядно справа налево, начиная с младших разрядов слагаемых. Рассмотрим сложение в разряде с номером i. Введем обозначения: а , b -цифры соответственно первого и второго слагаемых i-го разряда, p -признак переноса из смежного младшего разряда. Признак переноса p равен 1, если в i-1 разряде сформирована единица переноса и p равен 0 в противном случае.

Найдем сумму: S =a +b +p ; a и b - десятичные числа, которые соответствуют цифрам a и b системы счисления с основанием q.

Сложение производиться в десятичной системе счисления. Возможны два случая:

1. S q. Из S вычтем основание системы счисления q, сформируем признак переноса в следующий i+1 разряд, равный 1. Разности, полученной в результате вычитания, поставим в соответствии цифру S системы счисления с основанием q.

2. S < q.. Сформируем признак переноса p в следующий i+1 разряд, равный 0. Поставим в соответствии десятичному числу S цифру S системы счисления с основанием q.

Полученная цифра S является цифрой i-го разряда суммы. Аналогично производится сложение в каждом разряде.

Правило 9. Вычитание.

Для того, чтобы вычисть числа в системе счисления с основанием q, необходимо записать одно под другим столбиком, чтобы разряды вычитаемого располагались под соответствующими разрядами уменьшаемого. Вычитание производиться поразрядно, начиная с младшего разряда. Рассмотрим вычитание в i-ом разряде. Введем обозначения: a и b -цифры соответствующего уменьшаемого и вычитаемого i-го разряда, p -признак единицы заема в i –ом разряде.

Этот признак равен 1, если возникла необходимость в заеме единицы в i-1 разряде и признак p_i равен 0 в противном случае. Поставим в соответствии a и b десятичные .числа a и b . Найдем значение выражения r =a - b +p . Возможны два случая:

1. r 0. В этом случае признак p =-1, т.е. возникает заем единицы в следующем разряде. Найдем сумму r + q. Полученной сумме поставим в соответствие цифру r системы счисления с основанием q.

2. r 0. В этом случае r необходимо поставить в соответствии цифру r_i . Признак заема p = 0.

Полученная цифра r является цифрой i-го разряда разности. Аналогично производится вычитание в каждом разряде.

Правило 10. Вычитание чисел в двоичной системе счисления с иcпользованием дополнительного кода.

Преобразуем выражение: x – y = x + (-y). Вычитаемое заменяется отрицательным числом. Отрицательное число –y переведем в двоичную систему счисления и найдем дополнительный код. Затем необходимо найти сумму чисел x и дополнительного кода числа –y, используя обычные правила сложения двух двоичных чисел. Количество двоичных разрядов, необходимых для сложения в этом случае определяется следующим образом:

K = max (n + 1, m + 1),

где n - количество разрядов уменьшаемого, записанного в двоичной системе счисления;

m -количество разрядов вычитаемого, записанного в двоичной системе счисления.

Вычитаемое должно быть преобразовано в дополнительный код с разрядностью равной k.

Если при сложении возникает единица переноса из знакового разряда, то она отбрасывается. При этом результат не искажается. Знаковый разряд определяет форму представленного числа. Если знаковый разряд суммы равен нулю, то разность неотрицательное число и записана в прямом коде. В противном случае (знаковый разряд равен 1), разность  отрицательное число и записана в дополнительном коде.